压轴大题突破练(一)

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1、压轴大题突破练压轴大题突破练(一)(推荐时间：60分钟)1．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a>0)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值．解　(1)a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3＋，令f′(x)>0，∴2x2－3x＋1>0(x>0)，∴01，∴f(x)的单调增区间为，(1，＋∞)．(2)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝.①当

2、0

3、a；a≥e时，f(x)min＝e2－(2a＋1)e＋a.2．已知抛物线x2＝4y，过点A(0,1)任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O4/4为坐标原点．(1)求·的值；(2)过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．解　(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(

4、x1＋x2)＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1，故·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3.(2)因为x2＝4y，所以y′＝x，l1的方程为y－＝x1(x－x1)，整理得y＝x1x－，同理得l2的方程为y＝x2x－；联立方程x2×①－x1×②得(x2－x1)y＝，y＝＝－1，故l1与l2的交点的纵坐标等于－1，即l1与l2的交点在直线y＝－1上．3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

5、f(x

6、1)－f(x2)

7、≤4；(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．(1)解　f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x.(2)证明　∵f(x)＝x3－3x，4/4∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1

8、x1，x2，都有

9、f(x1)－f(x2)

10、≤

11、f(x)max－f(x)min

12、＝2－(－2)＝4.(3)解　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵曲线方程为y＝x3－3x，∴点A(1，m)(m≠－2)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.因f′(x0)＝3(x－1)，故切线的斜率为3(x－1)＝，整理得2x－3x＋m＋3＝0.∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，∴关于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三个实根．设g(x0)＝2x－3x＋m＋3，则g′(x0)＝

13、6x－6x0，由g′(x0)＝0，得x0＝0或x0＝1.∴g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．∴函数g(x0)＝2x－3x＋m＋3的极值点为x0＝0，x0＝1.∴关于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三个实根的充要条件是解得－3

14、△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．解　(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入方程y2＝4x得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，有x1＋x2＝＝2得b＝－k，4/4∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋，∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为，∴AB的中垂线方程为y＝－(x－1)＋＝－x＋，∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故＝2得k＝，故直线AB的方