卫星通讯传输数学模型与分析

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1、T3卫星上的通讯开关设置一院三队许睿郝东党朝辉编号：15031摘要本文首先针对卫星上的通讯开关问题作了优化模型分析，再根据优化模型的目标将本题分解为三个部分：1、时间最短；2、模式最少；3、最短时间与最少模式能否同时到达。对本问题，本文的总体思路是分步优化。首先将通讯过程分解为一步步执行，然后在根据每一步的情况作出最优决策。而对于每一步的决策本文设计了一个通用的原则，并按此原则设计出算法，最后利用程序求解。当时间最短时与模式最少时的模式数和时间相等时两者同时达到。对于时间最短与模式最少本文采取了贪心优化的方法，求最短时间的原则为尽

2、可能采取通讯速率大的开关模式，求最少模式的原则为尽可能采取通讯量大的开关模式，根据以上原则步步优化，得到了比较好的结果。任务矩阵T1T2T3T4优化目标最短时间最少模式最短时间最少模式最短时间最少模式最短时间最少模式求解量时模时模时模时模时模时模时模时模间式间式间式间式间式间式间式间式编程计算18821944441361455094351132人工计算1881873333136145无无无无参考答案18718733331361455095850958但是，程序求解的结果并不适用于所有的任务矩阵，对于个别特殊的任务矩阵会出现较小的偏

3、差，对此本文作出了分析讨论。所有本题求解的最短通讯时间和最少通讯模式数及各阶段通讯模式开关状态及其对应时间见附录1、2、3、4。2一、问题重述本题是一个优化问题，优化的目标分别为通讯时间的最小值和开关模式的最少种数。在本通讯卫星问题中，地面上有n个接受站与n个发送站，通讯卫星上设置了若干种开关模式。由于技术上的原因，发送站i与接收站j传递信息是，它不能同时接收其他发送站发送的信息。现在要求我们在给出了发送接收任务T后，设计两种通讯方法，其一是在完成预定任务的前提下，尽可能使各开关模式下的总时间最短；其二是在完成预定任务的前提下，尽

4、可能使用较少的开关模式。在设计完以上两种方法后，求解几组数据。二、假设与定义定义1：设A,A,?,A是m×n维矩阵，k,k,?,k为实数，则形如下式12p12p的和kA+kA+?+kA1122pp称为矩阵A,A,?,A的线性组合。12p若有m×n维矩阵B，使B=kA+kA+?+kA，1122pp则称B是矩阵组A,A,?,A的线性组合或称B可由矩阵A,A,?,A线性表示。12p12p定义2：设A,A,?,A是一组矩阵，若存在一组不全为零的数12pk,k,?,k，使12pkA+kA+?+kA=0，1122pp则称矩阵组A,A,?,A线

5、性相关，否则称矩阵组A,A,?,A线性无关。12p12p三、符号说明n：通讯站的个数。T=(t)：通讯卫星上的接收发送任务。ijP=(p)：开关模式矩阵。ijt,k=1,2,3,......,r：对应这些开关模式P,k=1,2,3,......,r的传送时间。kk3VP,k=1,2,3,......,r：对应开关模式P,k=1,2,3,......,r的传送速率，即该开关kk模式矩阵中1的个数。TP,k=1,2,3,......,r：对应开关模式P,k=1,2,3,......,r在当前状态下的传送潜kk力，即该开关模式在当前任务

6、状态下最多能保持通讯的时间，该量与开关模式中1元素对应的任务矩阵中的元素的最小值。QP,k=1,2,3,......,r：对应开关模式P,k=1,2,3,......,r在当前状态下的最大可kk能传输量，即在保持最长的通讯时间时传输的信息量，QP=VP×TP。kkk四、问题分析首先，每个开关模式可以用矩阵P=(p)来表示,若卫星可接收发送站I发出ij的信息并将信息传送回接收站j时，矩阵中的元素p=1，否则p=0。通讯卫ijij星上的接收发送任务也可以用一个矩阵T=(t)来表示，元素t为信息有发送站iijij到接收站j的传送时间长度

7、。由于技术上的原因，发送站i与接收站j传递信息是，它不能同时接收其他发送站发送的信息。由此，可以设定卫星的所有可能开关模式P,k=1,2,3,......,r，为一系列单位矩阵，或是由单位矩阵的初等变换得到k的初等矩阵，或者是这些初等矩阵的某些元素置零得到的矩阵。对应这些开关模式有传送时间t,k=1,2,3,......,r。由此，我们可以写出本题的优化要素。k目标函数：1.时间最短rMIN：∑tkk=12.模式最少MIN：r约束条件：rT=∑tkPkk=1决策变量：t>0;k=1,2,3,......,rk4Pk通过本优化模型求

8、解，就可以得到相应的解。五、模型建立与求解通过以上分析，我们建立了本题的优化模型。但是，该模型并不是一个标准的线性规划，决策变量P的形式太多，不好确定。为此，我们对该模型做了下k面的处理。由于传输过程是一步一步进行的，因此，可以寻找一个优化原则，每