全纯莫尔斯理论

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1、浙江大学硕士学位论文1第一章经典莫尔斯理论推论1．2．定义在紧致流形t6勺Morse函数只有有限多的临界点．证明：假设．厂：M_R上有无穷的临界点p1，P2，．一，由于流形是紧致的，则存在一收敛的子序列‰。，Pn：，·．．，设肌为该子序列的极限点，由于f是Co。的，如a_L。∞)在p点是光滑的，由连续性可知在伽处毫岛=0，p。是f的临界点，这与推论1．1矛盾．定理1．1(Morse函数的存在性)．令伊(M)(r≥2)是M上所有r次可微函数空间，则M上所有Morse函$炙集合F在C’(M)中是稠密的．特别地，当M是一个紧流形时，F是C7(M)的一个开稠集．证明：参照马天老师【

2、31，M为紧流形，f∈C’(M)是Morseigl数，考虑．厂的任何摄动，+￡9，g∈C7(M)，￡≠0：充分小我们知道v．厂是非退化的，那么由非退化奇点的同伦不变性，可知摄动的梯度也是非退化的．IjlJJ知Morse函数集合是伊(M)的开集．令妒：M-÷N是∥同胚，其拉回映射妒。：C7(Ⅳ)jC7(M)是同构，定义为：妒+(．厂)=f。妒，f∈C’(Ⅳ)．由此可知只要考虑戤的嵌入子流形就可以了．令McRm是一个礼维流形，(z11．一，xm)是Rm中的坐’标系，P∈M存在一个邻域U，以(z1-．一，Xn)为局部坐标系．贝0存在开集VcRn，使得U表示为：U={(z，Xn+1

3、(z)，⋯，zm(z))Iz∈VcRn)．令M分解为可数开覆盖M=u墨】阢，其中阢可以用上面所说的某死个分量作为局部坐标系．则对任意给定的a=(a1，⋯，am)∈Rm和．厂∈C’(M)，构造函数厶X)=f(x)+al(x)+⋯+amX。这定义是合理的，只要对几乎所有的Q=(alj．一，am)∈Rm上面构造函数fo(x)是Morsei函数就完成证明了．把厶X)限制在阢上，可得其中9(z)定义为．厶(z)’=alx)+⋯+anXn+g(x)2ZmZ+nZ=yZom∑一+ZyZ，，=Zg浙江大学硕士学位论文1第一章经典莫尔斯理论厶(z)和夕(z)的Hession矩阵一致：Hf(x

4、)=Hg(x)，X∈Rn．由9(z)的构造可知Xo是厶(z)的临界点的充要条件是vg(zo)=一Q，Q=(a1，⋯，n舰)．Xo是厶(z)的非退化临界点的充要条件是一Q是v9：舻_Rn的正则值．由Sard定理知对几乎所有的OL∈Rn，一Ol是V9的正则值．这说明对几乎所有的a=(a1，⋯，am)∈Rm，厶(z)限制在阢上是Morse函数．令At=a∈RmI^在巩上不是莫尔斯函数)，贝．1JA=u墨1为零测集，而厶除此零测集外皆为Morse函数．证毕．1．2莫尔斯不等式定义l。2．欧氏空间中长度≤1的所有向量构成的空间，en=x∈Rn：JIzII冬1)，称为，z维胞腔．其边缘

5、为邑n=X∈R札1lXII=1)，记为S肛1．引理1．2．如果M上的光滑向量场x在一个紧致集KcM之外为零，则x产生M的唯一一个单参数微分同胚群妒．定理1．2．设厂为流形M上的光滑实值函数，a

6、向量场gradf的零点就是f的临界点．如果c：R_M是一条曲线，速度向量为翥，则有恒等式(塞，971adf)=塞(‘厂)=1d(f广oc)．令p=面面丽1，则p：MjR是一个光滑函数，在紧致集厂1a，6]之外为零。则由．K=p(q)(gradf)q定义的向量场x满足引理1．2的条件，则x产生一个单参数微分同胚群忱：M_M，满"早、-盟d型t=x(慨(z))：Vx∈M．对于固定的q∈M，考虑函数￡_，(仇(q))．如果帆(q)∈f-1a：6】，则掣=(警铲，gradf)=(x，97’o彤)=X(f)=pI旧ro形112=1．考虑微分同胚‰一口：M_M．由上面可知这个映射把Mn

7、微分同胚映成M6．再定义单参数映射族n：M6_M6如下：fr。(q)：{q，，(q)≤n’(1．1)l妒t(n一，(q))(q)，n≤f(q)≤b．浙江大学硕士学位论文1第一章经典莫尔斯理论于是ro是恒同映射，r1是从M6到M。的收缩映射，所以M。是M6的形变收缩核．定理1．3．设．厂：M—R是一个光滑函数，p是一个非蜕化临界点，其指数为入，f(P)=c．假设对某个E>0，集合，～C一￡，C+￡]是紧致的，并且除了．如以外不再含枷勺其他临界点．于是，当E充分小时，Mc+e的同伦型与Mc—s粘上一个入维胞腔后的同伦型