2016届中考数学专题复习测试题：专题三新定义探究教师版

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1、2016年中考总复习专题三新定义探究一、基本运算新定义1.（2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5=´-+（1）求（﹣2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．解：（1）∵a⊕b=a（a﹣b）+1，∴（﹣2）⊕3=﹣2（﹣2﹣3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3﹣x）+1＜13，9﹣3x+1＜13，﹣3x＜3，x＞﹣1．在数轴上表示如下：2.（1）－2⊕3＝(－2+3)´(－2－3)+

2、2´3´(－2+3)＝1´(－5)+2´3´1＝－5+6＝1（2）因为a⊕b＝(a+b)(a－b)+2b(a+b)=—+2ab+2=；b⊕a＝(b+a)(b－a)+2a(b+a)=—+2ab+2=所以a⊕b＝b⊕a二、几何图形新定义1．（2015•台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M

3、，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由．（1）解：①当MN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN===；②当BN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN===，综上所

4、述：BN=或；（2）证明：∵FG是△ABC的中位线，∴FG∥BC，∴===1，∴点M、N分别是AD、AE的中点，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，∴EC2=BD2+DE2，∴（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2，∴NG2=FM2+MN2，∴点M、N是线段FG的勾股分割点；（3）解：作法：①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图所示：（4）解：S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN，理由如下：设AM=a，BN=b，MN=c，∵H是DN

5、的中点，∴DH=HN=c，∵△MND、△BNE均为等边三角形，∴∠D=∠DNE=60°，在△DGH和△NEH中，，∴△DGH≌△NEH（ASA），∴DG=EN=b，∴MG=c﹣b，∵GM∥EN，∴△AGM∽△AEN，∴，∴c2=2ab﹣ac+bc，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴c2=a2+b2，∴（a﹣b）2=（b﹣a）c，又∵b﹣a≠c，∴a=b，在△DGH和△CAF中，，∴△DGH≌△CAF（ASA），∴S△DGH=S△CAF，∵c2=a2+b2，∴c2=a2+b2，∴S△DMN=S△ACM+S△ENB，∵S△DMN=S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AM

6、F，∴S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN．2．（2015•嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离

7、（即线段BB′的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠AB