九角星的各顶角度数之和

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1、九角星的各顶角度数之和九角星，一般是指由九条线段自我相交而成的有九个尖角的图形.不同的九角星，各顶角的度数和就不同。如果是正九角星，只要知道每一个顶角的两条边与外接圆的交点之间在角的内部有几个其他角的顶点，就能求出每一个顶角的度数，然后乘以9就可以计算出所有顶角的度数之和。具体算法是:设每一个顶角的内部有n个其他角的顶点,则每一个顶角的度数就是,九个顶角的度数之和就是。如果不是正九角星，我们就用三角形内角和及内外角之间的关系的知识进行计算。如图1，这实际是个九边形；从一个顶点向其他各顶点作对角线，总共能

2、作6条，这6条对角线把九边形分成7个三角形，7个三角形的所有内角度数之和，就是九边形的内角和，即；图2的九角星是三个三角形套在一起组成的图形，所以，所有顶角的度数之和为；这两种九角星的所有顶角度数之和比较容易计算。图3所示的九角星，就不是那么容易计算了。下面我们来计算一下：设BF、CG的交点为M，BF、CH的交点为N，BF、DH的交点为P，DH、AF的交点为Q，AE、DH的交点为R，AE、DI的交点为S,如图：由图可知：∠BMG=∠C+∠CNF,∠CNF=∠BPH+∠H,∠BPH=∠F+∠DQF,∠DQ

3、F=∠A+∠ARH,∠ARH=∠D+∠DSE,∠DSE=∠I+∠E;所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G+∠H+∠DSE=∠A+∠B+∠C+∠F+∠G+∠H+∠ARH=∠B+∠C+∠F+∠G+∠H+∠DQF=∠B+∠C+∠G+∠H+∠BPH=∠B+∠C+∠G+∠CNF=∠B+∠G+∠BMG=1800即这种九角星所有顶角度数之和为1800.与正九角星相等。图4的九角星，用这种方法就又不行了。因为此时图中没有现成的三角形好用了，怎么办？∠A+∠B+∠

4、C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的结果是多少，与类似的正九角星的所有顶角之和还相等吗？解答如下：连结AE、EI、ID、DH、HC、CG、GB、BF、FA,如图5：则图中有九个以九角星的顶点为顶点的三角形：△HAC、△IBD、△ACE、△BDF、△CEG、△DFH、△EGI、△AHF、△BIG。如果不嫌麻烦，可以列个算式算一下，外部九角星的九个顶角被九条虚线分成了27个角，其中有九个是虚线九角星的顶角；在计算上述九个三角形的内角和时，虚线九角星的顶角只被用一次，而其他各角都被用了两次。由图可知，这九

5、个三角形的所有内角之和比外部九角星的所有顶角之和的2倍少了1个内部虚线九角星的所有顶角之和，所以外部九角星的所有顶角之和为：。也与正九角星相等。2014/12/25