有限元法基础理论

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1、第一章绪论一、有限元法的概念1.什么是有限元？有限元分析，英文说法：finiteelementanalysis，简称FEA，定义为：将一个连续系统（物体）分隔成有限个单元，对每一个单元给出一个近似解，再将所有单元按照一定的方式进行组合，来模拟或者逼近原来的系统或物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化成一个离散的有限自由度问题分析求解的一种数值分析方法。2.力学基础其主要力学基础是弹性力学，处理对象为任意变形体。二、有限元的基本思路有限元分析的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一

2、个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。连续系统分割有限单元组合近似系统下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。图1受自重作用的等截面直杆图2离散后的直杆受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。1.等截面直杆在自重作用下的材料力学解答N(x)=q(L−x)N(x)dxq(L−x)dxdu(x)==EAEA2xN(x)dxqxu(x)=∫=(Lx−)0EAEA2duqε

3、==(L−x)xdxEAqσ=Eε=(L−x)xxA222x=L/3时：u=5/18L。x=2L/3，u=4/9L。x=L：u＝1/2L。2.等截面直杆在自重作用下的有限元法解答1）离散化如图2所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接1点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。u−ui+1iu(x)=u+(x−x)iiLi其中u为第i结点的位移，x为第i结点的坐标。

4、第i个单元的应变为ε，应力为σ，内力为N：iiiiiduui+1−uiε==idxLiE(u−u)i+1iσ=Eε=iiLiEA(u−u)i+1iN=Aσ=（1-8）iiLi3）把外载荷集中到节点上q(L+L)ii+1i把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上。F12Gi+1F24）建立结点的力平衡方程对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：q(L+L)ii+1N−N=（1-9）ii+12Li令λ=，并将（1-8）代入得：iLi+1q12−u+1(+λ)u−λu=1(+)L（1-10）ii

5、i+1ii+2i2EAλi根据约束条件，u=0。1对于第n+1个结点，qLnN=n22qLn−u+u=（1-11）nn+12EA建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的接点2位移。三、有限元法的计算过程有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。1．网格划分（离散化：自然离散、逼近离散）有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点

6、相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。图1-7四面体四节点单元图1-8六面体8节点单元图1-11三角形3节点单元图1-12四边形4节点单元2.单元分析对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。单元分析的步骤可表示如下：(1)

7、(2)(3)(4)结点内部各应变应力结点力位移点位移单元分析以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示，单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。3图1-15三角形3结点单元⎧ui⎫⎧Ui⎫⎪⎪⎪⎪vV⎪i⎪⎪i⎪e⎪⎪uj⎪⎪e⎪⎪Uj⎪⎪结点位移{}δ=⎨⎬结点力{}F=⎨⎬vV⎪j⎪⎪j⎪⎪u⎪⎪U⎪mm⎪⎪⎪⎪⎪v⎪⎪V⎪⎩m⎭⎩m⎭建立结点位移与结点力之间的转换关系。{}e[]e{}eF=Kδ转换矩阵[K]称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚

8、度矩阵。3.整体分析对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。例如在自重作用下的等截面直杆中，我们建立力学平衡方程，通过解方程组可以得到问题的求解。四、有限元的发展与应用有限元法是在20世纪50年代中期，最早以解决结构力学、弹性力学问题发展