线性方程组理论在高等代数中的应用

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1、2008年11月绵阳师范学院学报NOV．．20o8第27卷第11期JournalofMianyangNormalUniversiVoI．27No．11线性方程组理论在高等代数中的应用徐德余(绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川绵阳621000)摘要：在高等代数的研究中一般常用矩阵作为研究工具，该文系统地从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧氏空问等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数的强有力的工具．在线性空间的的讨论中不但给出了替换定理的一个推广，而且应用线性方程组的知识给出了线性空间中的替换定理的一个新证法，进而推出了一个新结论，并得到了一些有实用价值的应用．关键

2、词：线性方程组；非零解；替换定理；秩中图分类号：0151文献标识码：A文章编号：1672-612x(2008)11-0005-07绪论在许多《高等代数》教材和《线性代数》教材中都把矩阵作为研究的重要工具，然而事实上，线性方程组理论也是一个比较重要的研究工具。我们在研究一些问题时，只要恰当地运用线性方程组理论，就可以使比较复杂的研究过程简单化。本文将从多项式理论、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、殴氏空间等五个方面的应用来讨论线性方程组理论在高等代数中的应用。下面我们先给出线性方程组的四个基本定理。定理l齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数n。推论1含

3、有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零。推论2若在一个齐次线性方程中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组必有非零解。定理2设齐次线性方程组的系数矩阵的秩r<11,，那么它一定存在有n—r个解向量组成的基础解系，并且齐次线性方程组的任意n—r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。定理3线性方程组na~ixi=bi(i=1，2，⋯，m)(1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等。定理4若线性方程组(1)有解，且其系矩阵A的秩为r，那么1)当=r时，方程组(1)有唯一解；2)当r<凡时，方程组(1)有无穷多解。1在多

4、项式理论中的应用1．1在多项式整除讨论中的应用例1若(+。+。++I)J[()+()+()+()]这里的()()()，()为实系数多项式，求证=0，其中i=1，2，3，4．证设5—1的5个根为l，，2，3，4，其中=c。s了27／"+n5=，l，互不相同，记=，=收稿日期：2008-07-20作者简介：徐德余(1944一)，男，教授，主要研究方向：环论，矩阵论。·6·绵阳师范学院学报(自然科学版)第27卷，3=，4=。o由出假1阪设驭可口J得1寻占由范德，蒙L行，L列式，L可／知((2)的系数行列式不等于零。再由推论1得=0，i=1，2，3，4．、，、、，、，1．2在用结+式求+解+

5、二元+高次方程的公共解的讨论中的应用为了推出一个解二元高次方程组的方法，我们先引入一个引理，L，，，L引理、设、)、，=、a，o“+al+⋯+a，g()=bo+bl+⋯+b，是数域P上的两个非零的多项式，它们+的系+数+a。，b+。不全为零。于是)与g(x)在P[]中有非常数的公因式的充分必要条件是，在ScoP[x]中存在非零的次数小于m的多项式()与次数小于n的多项式V(X)，使得u())=()g()．利用这，个引／理及／线，性方程组的知识，可引入两个多项式结式的概念，从而得到、、、，、，定理5设)=ao+al+⋯+a，g(X)=bo+bl+⋯+b是P[x]中两个多项式，m，+++

6、+n>0，于是，它们，的结，式，LR(厂，g)=0的充分必要条件是)与g()在P[x]中有非常数的公因式或者它llll们的第一个、，系数、a。、，b。为、，全零。由定理l5I，利=用结=式=，进行消元，可得出一种求二元高次方程公共解的方法。(详见文献[2])00OO●，，，2在矩阵中的应用运用齐次线性方程组理论证明矩阵秩的有关结论。例2[1]证明R(A，B)≤min{R(A)，R(B)}．证设A⋯B⋯，考虑齐次线性方程组：ABx=0(3)与Bx=0．(4)显然(4)的解为(3)的解，因此s—R(AB)≥5一R(B)，即R(AB)≤R(B)。同理R(AB)≤R(A)，即结论成立，得证。

7、例3设A⋯，B为实矩阵，a≠0为任意复数，则aE+AB可逆的充分必要条件是oE+可逆。，证可以只2证充分性。设(口E+AB)x=0，上式两边左乘B有(aE+BA)Bx=0，由于R(口E+BA)=n，有Bx=0。当然ax=一ABx=一A(Bx)=0，即=0，因此R(aE+AB)=m。例4设A⋯B矩阵，则R(AB)R(A)+尺(一12证设齐次线性方程组ABx=0，(5)与Bx=0．(6)且R(A)=P，R(B)=q，R(AB)=t．显然(6)的解(5)的解，取