测度论与概率论第一章第二节测度论中的常用集族(版本14.5.23)

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1、1.2测度论中常用集族以集合为元素的集合称为集族，如果这些集族是一个基本集X的子集，就称为X上的集族。测度论中所考虑的集合都是一个固定的基本集X上的子集。在基本集已经明确的前提下,X上的集族A就简称为集族A。因为集族中的元素是集合，所以可以在集族上进行集合的运算。设F为X上的一个集族，⊗表示一种集合的运算，如并、交、差、对称差和取补集。如果对任意的两个F中的集合A∈F,B∈F，有A⊗B∈F，就称F对运算⊗封闭。测度论中考察的集族都要求对某个或某几个集合的运算是封闭的。以下介绍几个常用的集族。定义1.2.

2、1（半环）设F为一个集族，并满足以下三个条件（1）F包含空集，即φ∈F；（2）F对交运算封闭，即对任意A∈F,B∈F，有A∩B∈F；（3）对F中的任意两个集合A和B，若A包含B，即A⊃B，则A减B，即AB可以表示为F中有限个两两不相交的集合的并，即有CC,,⋯C∈F,C∩C=φ(i≠j)，使12nijnAB=∑Ci，则称F为半环。k=1【例1.2.1】记R为实数的集合，考虑全体R中所有左闭右开区间[ab,)组成的集族F，即F={[aba,);≤bab,,∈R}则F是R上的一个半环。事实上（1）[aa

3、,)={xa;≤

4、,)={(xx1,2,⋯,xn);a1≤x1

5、d,)×[cd,)∈F1122再考虑情形II（如图1.3.2）所示，这时[ab,)∩[cd,)=[cb,)×[ad,)∈F1122其他情形类似。（3）假设[ab,)⊃[cd,)，由图1.3.1知，这时a≤cb,>d，a≤cb,>d，于是11112222[ab,)[cd,)由8块半开半闭区间组成，即[ab,)[cd,)=[ac1,1)×[ac2,2)∪[cd1,1)×[ac2,2)∪[db1,1)×[ac2,2)∪[ac,)×[db,)∪[cd,)×[db,)∪[db,)×[db,)112211221

6、122∪[ac1,1)×[cd2,2)∪[db1,1)×[cd2,2)显然这8个半开半闭区间是两两不相交的，且属于F，故[ab,)[cd,)∈F。综合以上分析，可知F为半环。图1.3.1图1.3.2【例1.2.3】设X为任意集，F(X)为X中的全体子集组成的集族，则F(X)为半环。事实上（1）φ⊂X，所以φ∈F(X)；（2）若AB,∈F(X)，则A∩B⊂X∈F(X)；2(3)AB,∈F(X)，AB∈F(X)；故F(X)为一个半环。注注注1.2.1设F为半环，那么F中两元素AB,的差AB必可表示为F

7、中有限个两两不相交的集合CC,,⋯C的并，即12nABC=∪C∪⋯∪C，12n这里，CC,,⋯C∈F,C∩C=φ,i≠j。事实上，因为对任意x∈AB，x∈Ax,∉B，12nij故x∉A∩B，所以x∈A(B∩A)，AB⊂A(B∩A)。再任取∀∈xA(B∩A)，则x∈A，x∉B∩A⊂B，所以x∈AB，从而AB⊃A(B∩A)，AB=A(B∩A)。又因为A⊃B∩A∈F，所以存在CC,,⋯C∈F,C∩C=φ,i≠j，使12nijnAB=A(B∩A)=∑Ci。i=1定义1.2.2（环）设F

8、为一个集族，且对并运算和差运算封闭，即有（1）若AB,∈F，则A∪B∈F（2）若AB,∈F，则AB∈F，那么就称F为环。【例1.2.4】设X为任意集合，F(X)是由X的所有子集构成的集族，则F(X)为环，这是因为对∀AB,∈F(X)，A∪B为X的子集，所以A∪B∈F(X)；又对∀AB,∈F(X)，AB为X的子集，所以AB∈F(X)。故F(X)为环。【例1.2.5】例1.3.1和例1.3.2中的集族不是环，因为两个区间的差可能不是一个区