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1、立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1.(2014,广二模理18)如图，在五面体ABCDEF屮,四边形ABCD是边长为2的正方形，EF〃平面ABCD,EF=,FB=FC,ZBFC=96,AE=*・(1)求证：⑷3丄平ffl5CF；(2)求直线/E与平面所成角的正切值.变式1：(2013湖北8校联考)如左图，四边形MCD屮，E是BC的中点，DB=2,DC=,BC=y^,AB=AD=y/2.将左图沿直线BD折起，使得二而角4—BD—C为60°,如右图.A(1)求证：/E丄平面3DC;(2)求直线/C与平而仙D所成角的余弦值.变式2：[2014-福建卷]在平面四边形ABCD中，AB=BD
2、=CD=,4B丄BD,CD丄BD.将44BD沿3D折起，使得平面丄平面3CD,如图1・5所示.(1)求证：ABA.CD；(2)若M为AD^点，求直线/D与平面MBC所成角的正弦值.k热点二：二面角例2・「2014•广东卷]如图1・4,四边形ABCD为正方形，PD丄平面4BCD,ZDPC=30°,AF1PC于点F,FE//CD,交PD于点E.⑴证明：CF丄平面ADF；(2)求二面角D-4F-E的余眩值.变式3：[2014-浙江卷]如图1・5,在四棱锥4・BCDE中,平面ABC丄平面BCDE,ZCDE=ZBED=90°,AB=CD=2,DE=BE=,AC=^2.(1)证明：DE丄平面ACD；(
3、2)求二面角B-AD-E的大小.变式4：[2014-全国⑼如图1・1所示，三棱柱ABC・ABC中，点川在平面MC内的射影D在MC上，ZM3=90°,BC=,AC=CC}=2.(l)iiE明：AC{±佔⑵设直线44】与平面BCC、B的距离为羽，求二面角A}-AB-C的大小.求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值.AB热点三：无棱二面角例3.如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD丄平面BCD,AB丄平面BCD,AB=2V3.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.变式5：在正方体ABCD-AXBXCXD^,KwBB,M
4、wCC、,且BK=*BB「CM=^CC}.变式6：如图ABCD-A^C.D,是长方体，AB=2,AAt=AD=lf求二平而AB.C与佔CQ所成二面角的正切值.高考试题精选1.R014-四川，18］三棱锥/・BCD及其侧视图、俯视图如图1・4所示.设M,N分别为线段/D加的中点，P为线段BC上的点，且丄NP.⑴证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角4-NP-M的余弦值.2.［201牛湖南卷］如图所示，四棱柱ABCD-ABCD的所有棱长都相等，AC^BD=O,/£小5»=6，四边形ACC［Al和四边形BDD®均为矩形.(1)证明：O1O丄底面MCD；(2)若ZCB4=60°,求二面角C「
5、OB「D的余弦值.3.T2014-江西19］如图1・6,四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面刊D丄平面ABCD.⑴求证：AB丄PD.(2)若ZBPC=90°,PB=&,PC=2,问肋为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此吋平面BPC与平面DPC夹角的余眩值.立体几何专题复习答案例1.(2014,广二模)(1)证明：取的中点M,连接EM,则AM=MB=lf・・・EF//平面彳BCD,EFu平面ABFE,平面ABCD^平面ABFE=AB,:.EF〃AB,即EF〃，血.1分•・•EF=MB=・・・四边形EMBF是平行四边形.2分:.EM//FB,EM=FB.在RtABFC中，FB2
6、+FC2=BC2=4,又FB=FC,得FB=^2.:.EM=y/2.3分在△/ME中，AE=",AM=,EM=^2,:.AM2-^-EM2=3=AE2f:.AM丄EM.4分AAM丄FB,即力3丄FB.・・•四边形ABCD是正方形，AAB丄BC.5分・・・FBCBC=B,FBu平面BCF,BCu平面BCF,AAB1平面BCF.6分(2)证法1：连接/1C,/1C与BQ相交于点o,则点o是/c的屮点,7分・9分10分取BC的中点H,连接OH,EO,FH,则OH〃AB,OH=-AB=.2由（1）知EF〃AB,且EF=—AB,2:.EF//OH,hEF=OH.・・・四边形EOHF是平行四边形.:
7、.EO〃FH,且EO=FH=由(1)知力3丄平面BCF,又FHu平面BCF,:.FHA.AB.FH丄BC,AB*BC=B,ABu平面ABCD,BCu平面ABCD,:.FH丄平面ABCD.:.EO丄平面ABCD.AOu平面ABCD.:.EO丄AO.•・•AO丄BD,EO0BD=O,EOu平面EBD,BDu平面EBD,11分・・・ZAEO是直线AE与平面BDE所成的角.12分Anr-在Rt/AOE
