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1、第七章多元分析初步多元分析(或多元统计分析)是研究多指标问题的理论和方法,它是一元统计分析的推广和发展.在研究各种随机现象和它们的统计问题时,常常需要同时考察多个指标,并且在所考察的多个指标之间还存在着统计联系.例如对肝炎患者的诊断,就有“转氨酶”、“澳抗”、“三T”,?,等多个指标.一般来说,单项指标偏高还不能立即确诊为肝炎病,而要由多个指标综合评定.在数学学科中，多个具有统计规律性的指标就是多维随机变量,所以要讨论多个随机变化的指标的统计规律性,就需要对多维随机变量的统计规律性进行讨论.多元分析就是讨论多维随机变量的统计方法的总称,它既包含单变量的常用统计方法在多变量情况下的推
2、广,也有多变量本身的一些特殊问题,例如对多个指标能否用较少的综合指标去近似地描写它,以及如何对多个指标样品进行分类等等.目前,多元分析在地质、生物、医学、气象、计算机模式识别等方面有广泛的应用.本章仅对多元分析的部分内容作初步介绍.7.1多元正态分布的定义及性质在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要的地位.这是因为,许多随机变量服从正态分布,或近似服从正态分布,而且目前对于多元正态分布已有一整套统计推断方法,并且得到了许多满意的结果.下面介绍多元正态分布的一些结果.一、多元正态分布的定义T定义7.1若p维随机变量X=(X1,X2,?,Xp)的概率密度为1⎧1T⎫f(x1,x2,
3、?,xp)=1exp⎨−(X−µ)Σ(X−µ)⎬(7.1)⎩2⎭(2π)p2
4、Σ
5、2则称X服从p维正态分布,也称X为p维正态变量,记为X~Np(µ,Σ),其中µ为X的均值向量,Σ为X的协方差矩阵T(简称为协差阵).其中X表示向量X的转置，以后不另说明.为了验证(7.1)式定义的f(x1,x2,?,xp)确为概率密度函数，我们需要证明+∞+∞∫∫?f(x1,x2,?,xp)dx1dx2?dxp=1，−∞−∞事实上，因−1T∑>0，故存在Q，使得Σ=QQ，作变换T−1TTTy=Q(x−µ)，则(x−µ)Σ(x−µ)=(x−µ)QQ(x−µ)=yy.这个变11−换的雅可比行列式为
6、Q
7、−
8、1.因
9、Σ
10、2=
11、Σ−1
12、2=±
13、Q
14、，此时当
15、Q
16、>0时取正号，否则取负号.于是+∞+∞∫∫?f(x1,x2,?,xp)dx1dx2?dxp−∞−∞11T−1−+∞+∞−(x−µ)Σ(x−µ)=(2π)−p/2
17、Σ
18、2?e2dx?dx∫∫1p−∞−∞1T+∞+∞−yy=(2π)−p/2?e2dyy?dy∫∫12p−∞−∞p12+∞−yi=(2π)−p/2e2dy=1∏∫i−∞i=12t1+∞−上式成立利用了∫e2dt=1.从而知由(7.1)式定义的2π−∞f(x1,x2,?,xp)确为概率密度函数.若随机变量X的分量Xi的均值为E(Xi)=µi,i=1,2,?p,则定义X的均值为
19、TTE(X)=(EX1,EX2,?,EXp)=(µ1,µ2,?µP)=µ(7.2)其中µ是p维随机向量,称为均值向量.定义随机变量X的方差为⎡σ11σ12?σ1p⎤⎢⎥σ21σ22?σ2pdefD(X)=E[(X−EX)(X−EX)T]=⎢⎥=Σ(7.3)⎢@@@⎥⎢⎥⎢⎣σp1σp2?σpp⎥⎦其中σij=E[(Xi−EXi)(Xj−EXj)],i,j=1,2,?,p.上式给出的X的方差实际上是协方差阵,由协方差阵的定义可知,任何随机变量X的协方差阵皆为对称阵,且总是非负定的,大多数情况下是正定的.将“Σ是正定阵”简记为Σ>0,而将“Σ是非负定阵”简记为Σ≥0.由线性代数知识可知
20、,若协方差Σ>0,则Σ的特征根均为正数,TΣ的行列式
21、Σ
22、>0，且Σ能分解成Σ=AA,其中A111为非奇异对称阵.若记A=Σ2,则有Σ=Σ2Σ2.二、多元正态分布的性质性质1若X服从p维正态分布Np(µ,Σ)，则E(X)=µ，DX=∑.即p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯一确定.性质2对于任一p维向量µ及p×p非负定对称矩阵∑，必有p维正态变量X服从Np(µ,Σ)分布.性质3若C为m×p矩阵，b为m×1向量，Y=CX+b，且X服从N(µ,Σ)分布，则Y服从m维正态分布，且pTTE(Y)=Cµ+b，Cov(Y,Y)=C∑C，即Y服从Nm(Cµ+b,CΣC)分布.性质3说明，多维正态
23、分布在线性变换下仍为多维正态分布.特别地，多维正态分布的低维边际分布也是正态分布.性质4X为p维正态变量的充要条件是对任一p维向量TC，Y=CX是一维正态向量.⎡X1⎤性质5X=⎢⎥为多维正态变量(X1,X2亦是多维的)，⎣X2⎦则X1,X2互不相关(指X1的任一分量与X2的任一分量均不相关)的充要条件是X1与X2独立.性质6X服从p维正态分布Np(µ,Σ)，且∑的秩为m的充要条件是X可表示为TX=µ+BY(BB=∑),其中B为p×m矩阵，Y为m维Nm(0,I)变量，
