《形内外与正负性》doc版

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3、。图1例1如图1，把△ABC的纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，试说明2∠A=∠1+∠2的道理。简析：易得∠A′=∠A若连AA′，则有∠1=∠3+∠4∠2=∠5+∠6则有∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠A′+∠A=2∠A即有2∠A=∠1+∠2变式1：若把△ABC的纸片沿DE折叠，且使A点落在四边形BCDE的外部点A′的位置，请你猜想∠1、∠2与∠A的数量关系。简析：变式1与例1问题的本质都是将△ABC的一个图2角沿DE折叠到另一位置，其折叠的本质没有发生变化，不同的是，例1是将∠A折叠到四

4、边形BCDE的形内，而变式1是将∠A折叠到四边形BCDE的形外，故探求结果的本质不会发生变化。不过位置变化会引起数量发生变化，由此，我们仍可采用连AA′的方法，来探求∠1、∠2与∠A的数量关系，则显然有2∠A=∠2—∠1。仔细思考一下，本例充分凸显了“形内外”与“正负性”的辩证关系。即∠A落到四边形BCDE形内，∠A、∠1、∠2的数量关系即为2∠A=∠1+∠2（∠2与∠1用“+”号连接），若∠A落到四边形BCDE的形外，则∠A、∠1、∠2的关系为2∠A=∠2—∠1（∠2与∠1用“—”号连接）。变式2：若将∠A折叠到四边

5、形BCDE形外原载于《中学生数学》（初中）（中国数学会，北京数学会，首都师范大学），2010年第5期。4图3的图3位置，与∠1、∠2与∠A又有何关系呢？简析：根据本例及变式1，显然2∠A=∠1—∠2例2如图4，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点，请你说明∠BOC=90°+∠A的道理。图4简析：连接AO并延长∠BOC=∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠BAC+∠3+∠5=∠BAC+（∠ABC+∠ACB）=∠BAC+（180°—∠BAC）=90°+∠BAC结果分析：上述结果表明，∠BOC的度数随∠BAC的

6、变化而变化，而与∠ABC、∠ACB的大小无关。变式：如图5，若在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点，那么∠BO′C与∠A有何关系？简析：∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于△ABC的形外点O′，O′′的本质属性与例2中点O的本质属性有相似之处，即都为两角的角平分线的交点。根据例2的结果，则可预测，∠BO′C与∠A必有数量关系，但可能由于点O′在△ABC形外，则数量关系可能发生变化。若连AO′，则有∠1=180°—（∠3+∠5+∠ABC）∠2=180°—（∠4+∠6+∠ACB）∴∠BO′C=∠1+∠2=3

7、60°—（∠3+∠5+∠ABC+∠4+∠6+∠ACB）=360°—〔∠ABC+（180°—∠ABC）+（180°—∠ACB）+∠ABC+∠ACB〕=180°—∠ABC—（∠ABC+∠ACB）4=180°—∠ABC—（180°—∠ABC）=90°—∠BAC结果分析：本例又一次向我们揭示了点O在△ABC的形内、形外而引发的∠BOC（∠BO′C）与∠A的正负性的关系。像是天作之合，令人振奋，发人深省！图6例3如图6，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直线DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分别为A、B。判断AB与AD+BE

8、的数量关系，并说明理由。简析：∵△CDA≌△ECB∴AD=BCBE=AC则AB=AC+BC=BE+AD变式1：若将AB绕C旋转至经过△CDE的内部，则可得图7，在此情况中，AB与AD+BE有何数量关系？图7简析：尽管AB的位置由在△CDE的形外（除C点外），旋转至△CDE的形内，但确定A、B的方式没有发生变化（即过D作DA⊥AB，