李代数一般根论

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1、李代数的一般恨论摘要本文建立了李代数的一般根理论，然后利用根理论的知识来研究李代数的结构．如果r是一个性质，并且满足下列三个条件：(R1)：r一李代数L的每个同态象L7也是r一李代数；(R2)：每个李代数L有一个最大的r一理想R(L)；(冗3)：R(L／R(L))=(o)．那么称7'为李代数L的根性质，且最大理想尺(己)称为L的r一根．我们定义李代数的％性质：L是个rb李代数当且仅当每个非零的L的同态象都包含一个非零幂零T(E)中的幂零理想，则％是个根性质．具体工作如下：(1)Witt代数L是单的李代数，并JlBaer-根rb(L)=0

2、．(2)对于￡D印代数L(三)的任意一个理想J，都存在一个^q州￡，t一1】，使得，：^o三，其中三是单李代数．(3)非扭仿射李代数￡(￡)的B就r一根n(L(Lo))：Fc，其中F为特征为零的代数封闭的域，C为中心元．(4)设L(L)：=L(L)+Fc是在如下运算下成为一个李代数：【a+Fc，b+Fc】：=【a，hi0+妒(口，b)c，妒(口，b)：=(da，b)o，对任何Q，b∈L(￡)，那么对于它的每个理想，，都存在，1qL(Lo)使得，：厶+Fc．关键词：李代数；Loop代数；非扭仿射李代数；Baer-根．硕+学位论文Abstr

3、actThisthesisconstructedthetheoryoftheradicalofLiealgebras．AndwemadeuseoftheknowledgeoftheradicaltheorytostudythestructureofLiealgebras．Ifrisaproperty,andalsosatisfiesthefollowingcondition：(R1)：EveryhomomorphicimageL’ofr-liealgebraLisagainanr—liealgebra；(R2)：Everyliealge

4、braLhasamaximumr-idealR(￡)；(R3)：R(L／R(L))=0．WedefinetherbpropertyofLiealgebra：￡isa％一Liealgebraifandonlyifeveryhomomorphicimageof￡containsnon—nilpotentidealin7'(E)，thenrbisaproperty．Thisspecificworkisinthefollowing：(1)IfwittalgebraisasimpleLiealgebra，anditsBaer-radicalrb(

5、L)=0．o(2)ToanyidealIofLoopalgebraL(L)，thereexistsan11司Fit，t-1】whichmakes0I=^0L，LisasimpleLiealgebra．(3)TheBaer-radicalofthetwistaffineliealgebrasis％(LA(L0))：Fc．Fisacloseddomainofcharacteristiczeroalgebraic．eisacentralelement．～OO(4)IfL(L)：=L(L)+FccanmakeaLiealgebraontheba

6、seofthefollowingcomputation：【a+Fc，b+Fd：=【a，b]o+矽(n，b)c，妒(n，b)：=(da，b)o，foranya，b∈L(L)，foranyidealIofL(L)，thereexistsJrlqL(L)whichmakes口～ooI=11+Fc．KeyWords：Liealgebras；Loopalgebras；thetwistamneliealgebras；Baer．radical．III硕十学位论文0．背景介绍绪论通常称李群和李代数及相关领域的研究为李理论．李代数是现代数学前沿领域中不可

7、或缺的学科之一．李代数不仅有着悠久的历史，而且现在依然有着巨大的发展．Kac—Moddy代数，Loop代数，Witt代数，非扭仿射李代数等代数都是在李代数的背景基础上出现和发展起来的(见[7一15】)．李代数与微分几何，拓扑，群论统计力学以及理论物理等学科都有着密切的联系，并且在这些领域中有着广泛的应用(见【19，25，27，33】)．研究李代数不仅仅局限于研究李代数的结构和表示，还研究了与李代数相关的代数的结构理论和表示理论如Leibniz代数顶点，顶点算子代数toroidal李代数，李双代数等(见[41，42】)．李代数是由挪威数学

8、家Sophus．Lie和德国数学家Wilhelm．Killing各自独立发展起来的．挪威数学家SophusiLie首先引出了李群的概念，这是在把类似于Galois理论的方法应用于微分方程的解的对称性的过程中