抽象代数与线性代数基础

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1、抽象代数与线性代数基础E．H．Connell引言我于1965年第一次教授大学生抽象代数课程.因为材料内容有趣,班级杰出,教授教这门课程很快乐。五位这班上的学生后来获得了数学哲学博士学位。从那以后用各式各样的教材我教授这门课程大约十二次。几年后我撰写了一组讲稿并于1985年我将其打印出来以至将其用作了教材。现在，这些内容（以修改形式）作为这本书的前五章。下面是我当时的一些动机。1）使某些内容尽可能地短且用时少。据我的经验，学生喜欢短课本。2）避免所有的革新，以最简单直截了当的方式组织材料。3）安排材料具有线条性。在可能的程度上，每一节应用到前一节的内容，

2、并为后面的章节所用。4）略去尽可能多的专题。这是基础课程，不是专著。如果一个专题后面不用，应该不包含在（课本）内。对此，有三个好的理由。首先，线性代数有最高优先权。最好是一直向前多讲授线性代数的内容而不是停下来讲授许多群环理论。第二，大学生他们自己学习组织和书写证明比看更多的题材内容重要。因为有许多“容易的”定理证明，代数学是一个完美的（数学）入门地方。这里有许多没有证明的常规定理，这些定理可以考虑作为学生的习题。第三，材料应该是如此基本的以至适合物理学和计算机科学的学生学习。很多很多的学生选微积分和线性代数，但几乎没有选抽象代数课程的。这里有某些失误

3、，其中之一是该课程试图讲许多群论和环论，而矩阵论和线性代数讲得不够。5）对于学习计算机科学专业的学生来说，该教程提供了标准离散数学课程的一个替代课程。各式各样的离散数学课程都有本教材前四章的绝大部分内容。计算机科学专业的学生也许通过阅读这个从纯数学观点组织的教材获得益处。几年后,我用已经打印出来的五章作为我的代数课程的基础,当我见到合适的内容随时补充它们.在1996年,我写了第六章,所给的材料足可以作为一年级的研究生教程..这一章的写法同写前几章的“类型”一样。亦即，所有内容都是十分核心的。除关于行列式与对偶空间的最后两节外，前后连贯的非常好。这些是放

4、在结尾处的独立专题。在1997至1998学年里，我修订了所有六章并将其用LaTex打印了出来。这就是这本书面世的个人背静景。生活中没有朋友的帮助难做任何事情，我的许多朋友对这本教材提供了帮助。我特别感谢MarilynGonzalez，LourdesRobles，MartaAlpar，JohnZweibel，DmitryGokhman，BrianCoomes，HuseyinKocak和ShulimKaliman。这本书诚挚地献给这些和所有给予帮助的朋友。这本书是重点强调在线性代数上的一个抽象代数概括。它是面向数学专业、计算机科学专业和物理学专业的学生的。

5、前三章或前四章可单独作为抽象代数的一个学期课程。然而，它们是为提供有关线性代数章节的背景而撰写的。第二章是本书最难的部分，这是因为群论是用加法符号和乘法符号写的，并且，陪集概念一开始不容易搞清楚。第二章之后，随着你的学习进度的深入会变得越来越容易。的确，前四章完后，线性代数的内容自然而然地就跟上来了。完成线性代数章节的学习就打下了一年本科抽象代数的基础。第六章是为（进一步）完善第一年研究生课程而续的材料。没有什麽背景知识的班级在第一学期里可以学习前三章，在第二学期里学习第四章和第五章。水平较高的班级在第一学期里可以学习前四章，在第二学期里学习第五章和第

6、六章。即便仅仅是前四章，你仍可坚持在一个学期内学完它们。本教材的叙述是紧凑和组织严谨的，但仍有些许非正式的。许多基本定理的证明被省略。这些证明打算留着有任课教授提供或者留作课后作业题。在第四章叙述了非平凡定理而没有证明，亦即，乘积的行列式等于行列式的乘机。为了课程的真正流畅，这个定理应该被采用而没有证明。这个证明放在了第六章里。热当形不应考虑为第五章的内容。在那里的叙述仅仅作为大学生课程的参考材料。最后，第六章不是主要作为参考材料的目的写的，而是为高级课程加的一章。本教材是带着这样的信念写的，就是将抽象代数和线性代数作为一个紧密结合学科去教授比作为两个

7、分离的学科更有效果。将抽象代数和线性代数作为两个不同的学科教授导致失去内容的配合与（学习）锐气。使用本教材时任课教授不要从课本摘选内容，而是应在其基础上建设该教程。我取信，从一个基础上建设教程比从一本大部头书上摘选内容容易。因为你摘选后，你仍然需要建设它。这本书的骨架特性增加了它的灵活性，因为你围绕它可以建你所希望的教程。基础代数是一个具有不可思议的优美和实用的学科，但它需要大量的组织结构。这本书是我对这个组织结构的尝试。每个努力都被用来使课题进行得迅速并且尽可能无缝隙地从一个主题流畅到下一个。大学生在学期内仅有有限的时间用于严格的学习，时间应谨慎分配

8、使用。任课教授选那些专题用于严格学习，那些仅是“浅尝则止”。目的是集中精力学和不断前进，这是因