线面垂直习题精选[1]

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1、线面垂直练习1如图1，在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．2如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．　　3如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，．4如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．5如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：

2、AC⊥BD证明：过A作AO⊥平面BCD于O同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连结ACAC为A1C在平面AC上的射影8.如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：.证：取PD中点E，则9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：A'

3、D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC10如图,在空间四边形SABC中,SA^平面ABC,ÐABC=90°,AN^SB于N,AM^SC于M。求证:①AN^BC;②SC^平面ANM分析:①要证AN^BC,转证,BC^平面SAB。②要证SC^平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC^AM,SC^AN。要证SC^AN,转证AN^平面SBC,就可以了。证明:①∵SA^平面ABC∴SA^BC又∵BC^AB,且ABSA=A∴BC^平面SAB∵AN平面SAB∴AN^BC②∵AN

4、^BC,AN^SB,且SBBC=B∴AN^平面SBC∵SCC平面SBC∴AN^SC又∵AM^SC,且AMAN=A∴SC^平面ANM11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：平面ABC⊥平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=aBC=a∴PD=a在ΔABC中AD==a∵AD2+PD2==a2=

5、AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC∴AD⊥平面PBC∴平面ABC⊥平面PBC13以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。解：面AEF［例1］如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°

6、，∴BC=a，SO=a，AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．图9—40（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上

7、的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．（2）【解】∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角，∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a，作AE⊥SC于E，连EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，而AH=a，AC=a，SC=a，AE=a∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B为60°．【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩