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1、单球面折射成像公式及其应用安徽省淮北市第一中学（235000）王化银【问题】一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率〃=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平而前12cm处，求最后所成像的位置。（第十八届全国中学生物理竞赛预赛试题）求解这个问题，要用到薄透镜成像公式中像方焦距表达式、凹面镜成像公式以及平面折射成像公式，而这些公式又都可以从单球面折射成像公式推出，所以，可以认为单球面折射成像公式是一个最基本的公式。一、公式推导如图1,设其中折射球面的球心为C,球面两侧介质的折射率分别为山和n2,且我们把通
2、过球面顶点和球心的直线称为此折射球面的主光轴。设P为主光轴上一物点，从P发出的光线PA正入射到球而上，它将无偏折地进入另一介质，并通过球心C。从P点发出的另一光线PB与主光轴成角〃（PB为近轴光线,。很小），它以入射角人射到球面上的B点，以折射角0折射进入另一介质，并与主光轴交于P'点。此时我们可将P和P分别称之为物点和像点,它们到折射面顶点A的距离则分别为物距u和像距Vo由于0很小，由图可见人、和图中所示的。和0都很小，根据折射定律有由于A和L都很小，故由近似关系应有sini}=.sini2=i2,则上式变为又由图屮的几何关系可以看到A=©+&和乙=
3、a-p,代入上式便为卩（Q+&）=比2（Q-0）以h表示图中B点到主光轴的距离，R表示球面半径，则由小角的近似关系可以得到：a=-,0=-9/?=-,代入上式并整理可得Ruvq+§_ni一nuvR上式即为球面折射时的物像距公式，式中各物理量的正、负取值有一定的规则,这一规则是：入射光线从左方射来时，球心在界面的右侧，则R取正值，球心在界面左侧，则R取负值；实物和实像的物距和像距都取正值；虚物和虚像的像距都取负值。特别地，当Rtoo,即球面变为平面时心4n负号表示所成像为虚像，像与物位于界面的同一侧。我们把像高y‘和物高y之比称为放大率，记为K。当物
4、或像在主轴上方时,y或W为正，反之为负。在图2所示情况下，放大率K为图2y'_-(v-7?)_vsinr_vyu+Rwsinzu当放大率为正时，物与像在主轴同侧（正立像）；为负时，物与像在主轴异侧（倒立像）。【例1】有一种高脚杯，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点0下方玻璃中的C点，球面的半径R=1.50cm,O到杯口平面的距离为&0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cmo这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率m=1.56
5、,酒的折射率血=1.34。试通过分析计算解释这一现象。（第二十一届全国中学生物理竞赛预赛试题）uvR图3解：1•未斟酒时，根据单球面折射成像公式得1In1.5611-1.56即+—=6.3v-1.50解得y=7.95cmo由此可见，未斟酒时，画片上景物成实像在杯口距O点7.95cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近（/1=8.0期-7.95期=0.05期），小于止常人眼的近点（晶状体表面弯曲程度最大，也就是晶状体变得最凸时，能看清的最近点）10cm,所以看不到画片上的景物。2•斟酒时，根据单球面折射
6、成像公式得®*n2_n2uv1.561.34_1.34—1.5663"-1.50解得v=-3ano由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm,即距杯口h=13cm+8cm=2cm□虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口足够远5=-%=-一x21c/n=-15.7cm）,大于正山1.34常人眼的近点10cm,所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上的景物的虚像。二、应用1—薄透镜成像公式如图4,透镜两球面中心的连线为透镜的主轴，设透镜本身材料的折射率为血，透镜周围介质的折射率为山，透镜两球面的半径分别
7、为R
8、和R2，S为位于透镜主轴上的一发光点，S”为S通过第一个折射面后所成的像，S，为S通过第二个折射面后所成的像（即S通过此透镜所成的像），如图并以u、vv分别表示各对应的物距和像距。由单球面折射成像公式，对于第一个折射面成像有uv*R、第一个折射面所成的像S“，是第二个折射面成像的虚物，故对于第二个折射面成像，其物距应为一北由此有n2q_n~n2-v'vR,将以上两式相加，则有仇-厲）彳上式就是薄透镜的成像公式，其中u、v、RrR2的符号规则与单球而折射成像公式的符号规则相同。根据上述公式可以看到，若S,则此时的像点便为此透镜的焦点，对应的像距
9、便为此透镜的焦距f。故有（…）「十f=q&&(n2-/?,)(R-次以②式代入①式，则有这就是
