《线代数复习》word版

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1、-16-二填空题1．已知,是的代数余子式,则0解2．行列式＝-3解3．行列式＝解＝4．线性方程组，有非零解，则＝解：线性方程组可化为-16-此线性方程组有非零解当且仅当系数行列式等于零，即5．已知矩阵不可逆，则的取值为–3或-6解：矩阵不可逆当且仅当，当1，3两行成比例时，必有，此时；当2，3两列成比例时，必有，此时6．设为阶方阵，且，则＝A+E解：由于7．已知矩阵，则＝解：由于8．已知，则＝解＝-16-9．已知矩阵，，则10．线性方程组的基础解系含个解向量解:线性方程组系数阵为:,，线性方程组的基础解系含个解向量11．设，已知，则9解12．设s13．

2、设向量组为线性相关，则2b解因为线性相关故14．已知向量组且不能由线性表示，则解：不能由线性表示当且仅当-16-则当且仅当。15．已知阶方阵，且行列式，则16．齐次线性方程组的通解为17．设为4阶方阵，，则齐次线性方程组的基础解系含个解向量解：由于则齐次线性方程组的基础解系含个解向量18．已知3阶矩阵的秩数为2,等价于A，则的秩数为219．矩阵的秩数为220．已知三计算题1．计算行列式1）-16-2）=3）4）解；或2）-16-3）4)2．求方程的根，其中解::由于若2,3列成比例,有;-16-由于若3,4两行成比例,有方程的根为:3,-3,1,-13

3、．已知求矩阵解:4．已知矩阵，求矩阵解:由于5．（1）已知矩阵且，求矩阵解：（2）设为3阶方阵且，又，为3阶方阵，且，求的值。解：因为，所以，又，得-16-（3）设，判断是否可逆，若可逆时求出其逆阵。解：，所以可逆所以。6．判别下列向量组的线性相关性，并求向量组的秩和一个极大线性无关组(1)，，，；解:该向量组线性相关，-16-(2)，，，解:该向量组线性相关，（3），，，。该向量组线性相关，向量组的一个极大线性无关组为7求解方程组1）求线性方程组的通解。解：通解为。2）求线性方程组通解.-16-解写出对应的增广矩阵B并进行行变换：，故方程组有解，其同

4、解方程组为方程组的通解为,（为任意实数）。对应齐次方程组的基础解系为。8求解方程组1）(1)取何值，方程组无解；(2)取何值，方程组有解，并求出其通解解-16-(1),无解,(2),有无穷多解,此时,同解方程组为通解为2）线性方程组（1）取何值时，有唯一解、无解或有无穷多解？（2）在有无穷多解时，求其通解。解：（ⅰ）当且时，，由克莱姆法则知，方程组有唯一解。（ⅱ）当时，可求得，，故方程组无解。（ⅲ）当时，同解方程组为，方程组有无穷多解，（2）时有无穷多解，其通解为。9由已知条件求解方程组的通解-16-1）．设为3阶方阵，，已知是非齐次线性方程组的解，，

5、是齐次线性方程组的解，求的通解解：的通解2）．设为7阶方阵，秩数，则齐次线性方程组的基础解系含解向量个数是多少？解：的基础解系含解向量个数是3）．已知矩阵，求方程组通解。解：系数阵为:同解方程为通解为10.求下列齐次方程组的基础解系与其通解（1）（2）解系数矩阵-16-，所以，r(A)=2,基础解系应有4-2个。则同解方程组为则，方程组的通解为任意实数。基础解系为（2）解将系数阵A用初等行变换化为规范的阶梯形阵,即得同解方程组为:移项得再添项得齐次线性方程组的所有解:-16-(其中为任意常数)得通解(为任意常数)得基础解系为11求下列矩阵的秩数1），2

6、）解1）r(A)=32）四证明题1．设阶方阵满足，证明：矩阵可逆证明由于，有-16-故矩阵可逆，且。2.为可逆矩阵，，证明：证明：由于为可逆矩阵，且故两边左乘得3、设阶方阵满足，证明可逆，并求出其逆。证明：由得从而有所以于是可逆，且4、若向量组线性无关,且试证明线性无关。证明：线性无关线性无关5．已知向量组线性无关，线性相关，证明：可由线性表示证明：由于线性相关，则有不全为零的数使得由于向量组线性无关，可以推出因此：即可由线性表示。6、．知是非齐次线性方程组的解，证明：是非齐次线性方程组的解的充分必要条件为-16-证明：是非齐次线性方程组的解7．．知是

7、非齐次线性方程组的解，证明：是齐次线性方程组的解。是齐次线性方程组的解。8．设阶方阵满足，证明：(1)证明矩阵可逆；（2）矩阵与不同时可逆证明：（1）证明：（2）