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1、数字图像处理(DigitalImageProcessing）数字图像处理与模式识别研究所第二章图像处理中的常用数学变换2.1引言2.2空域变换2.2.1代数运算2.2.2几何运算2.3离散傅立叶变换2.3.1离散傅立叶变换基本概念2.3.2离散傅立叶变换基本性质2.3.3快速离散傅立叶变换2.4离散Gabor变换2.4.1加窗傅立叶变换2.4.2Gabor变换的基本概念2.4.3离散Gabor变换2.5小波变换2.5.1连续小波变换2.5.2二进小波变换2.5.3离散小波变换2.5.4二维离散小波变换2.5.5小波变换的应用2.6PCA变换2.6.1PCA的基
2、本概念及问题描述2.6.2PCA变换的应用2.7离散余弦变换2.8其他的正交变换2.1引言图像的数学变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。在这些变换中，一种是在空间域上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像。另一种重要的数学变换则是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析。最典型的变换有离散傅立叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。除了傅立
3、叶变换外，常用的非空域的变换还有Gabor变换、小波变换、离散余弦变换、PCA变换等等。无论是在空域中的数学变换还是频域中的数学变换，它们在图像分析、滤波、增强、压缩等处理中都有着非常典型而重要的应用。2.2空域变换2.2.1代数运算 图像的代数运算是指对两幅图像进行点对点的四则运算而得到一幅新的输出图像。图像的代数运算在图像处理中有着广泛的应用，它除了可以实现自身所需要的算术操作，还能为许多复杂的图像处理提供准备。1.加法运算2.减法运算（差分）+==—（a）原图（b）梯度运算2.2.2几何运算几何运算可以改变图像中物体之间的空间关系。这种运算可以看成是图像
4、内的各物体在图像内移动的过程。例如，物体的转动、扭曲、倾斜、拉伸等等，都是几何运算的结果。0,0xy旋转0,0xy水平镜像0,0xy垂直镜像平移放缩旋转复杂变换右图显示了在失真和相应的校正图像中的四边形区域，四边的顶点是相应的“控制点”。假设四边形区域中的几何形变过程用双线性方程对来建模，即：FDCBAFDCAB几何变换的应用举例图像在生成过程中，由于系统本身具有非线性或拍摄角度不同，会使生成的图像产生几何失真。几何失真一般分为系统失真和非系统失真。系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随机的。但对图像作定量分析时，就要对失真的图像进行几何校正（即将存在
5、几何失真的图像校正成无几何失真的图像），以免影响分析精度。基本方法是先建立几何校正的数学模型；其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。通常分为两步：(1)图像空间的坐标变换；(2)确定校正空间各象素的灰度值。灰度级插值输出象素通常被映射到输入图像中的非整数位置，即位于四个输入象素之间。因此，为了决定与该位置相对应的灰度值，必须进行插值运算。常用的插值方法有3种：1）最近邻插值(NearestNeighborInterpolation)2）双线性插值(BilinearInterpolation)3）三次立方插值1）最近邻插值(Nearest
6、NeighborInterpolation)最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。数学表示为：2）双线性插值(BilinearInterpolation)双线性插值法是对最近邻法的一种改进，即用线性内插方法，根据点的四个相邻点的灰度值，分别在x和y方向上进行两次插值，计算出的值。最后形成的插值函数为一双曲抛物面方程：(0,0)f(0,0)(x,0)(0,y)(0,1)(x,1)(1,1)(1,0)f(1,0)(x,y)f(x,y)灰度双线性插值示意图yx首先，在x方向上作线性插值，对上端的两个顶尖进行线性插值得
7、：类似的，对于底端两个顶点进行线性插值有：y方向上作线性插值，以确定：最后得到双线性插值公式为：3）三次立方插值该方法利用三次多项式来逼近理论上的最佳插值函数，其数学表达式为：上式中的是周围象素沿方向离原点的距离。待求象素的灰度值由其周围16个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求象素的灰度值计算式为：.2.1012S(x)x三次立方插值原理图0uv(x,y)(i,j)(i+1,j)(i+1,j+1)(i,j+1)(i.1,j.1)(i.1,j+2)(i+2,j.1)(i+2,j+2)其中：2.3离散傅立叶变换2.3.1傅立叶定义理论基础、连续与离散的傅立叶变换
8、。2.3.2二维傅立叶变换特性可分离性
