algebraic_geometry_i

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1、课程简介模板代数几何I课程简介课程名称代数几何I课程代码∕课程英文名称AlgebraicGeometryI任课教师任课教师职称课程类别第二层次学时4学分4授课方式主讲主要内容简介本课程属于第二层次课程，面向代数组的全体学生。这门课从解方程的思想出发，并以此为线索，由浅入深地介绍了代数几何的基础内容。它承接了本科生的《高等代数与解析几何》、《代数几何基础》等课程内容，也为今后学习代数几何后续课程提供了基础。代数几何I----代数簇理论(周课时:4，第二学期开设)Chapter1.解方程的基本理论1.希尔伯特基定理-

2、---约化为有限个方程(1)背景(2)希尔伯特基定理的证明2.希尔伯特零点定理----方程组有无解的判别法(1)判别方程组是否有解(2)诺特正规化引理(3)结式的性质(4)零点定理的证明(5)零点定理的等价形式.3.根理想----约化为既约方程组(1)去掉方程中的指数幂(2)根理想(3)方程组同解的判别法4.理想的准素分解----约化为不可约方程组(1)方程组的分解(2)方程组的不可约分解(3)不可约方程组解集的不可约性(4)准素分解的唯一性(5)极小准素分解(6)不可约分支的性质5.代数簇的有理函数域----方

3、程的解的维数(1)代数簇（仿射）(2)代数簇上的有理函数域6.域的单扩张----约化为一个方程(1)分裂域(2)域的可分扩张(3)有限单扩张(4)代数簇双有理等价于超曲面7.诺特规范化定理----约化为规范方程(1)有限代数(2)整性与有限性(3)诺特正规化(4)代数簇的函数域的结构Chapter2.解方程的代数理论1.坐标函数环(1)坐标函数环的定义(2)极大理想与方程的解2.环的整扩张(1)例子(2)环的整扩张(3)整环的整闭包(4)环的整同态、有限同态、有限型同态3.代数簇的正规化(1)正规化(2)迹与域的

4、扩张(3)整元的特征多项式(4)整闭包的有限性证明(5)诺特环上的有限生成模4.局部化技巧(1)分式环(2)分式模(3)局部性质(4)分式环的性质5.代数簇的维数理论(1)不可约真子簇的维数(2)分式环中的素理想链(3)Q(x)的素理想链6.整闭整环上的整扩张(1)整闭性是局部性质(2)理想上的整元(3)构造素理想(4)下降定理7.方程的个数与解的维数(1)主要结果(2)Krull主理想定理的证明(3)高度和维数的定理证明(4)不可约分支维数的定理证明Chapter3.代数簇的几何1.代数簇的切空间(1)解方程与

5、隐函数定理(2)方程组的线性化与切空间(3)切空间的维数2.光滑代数簇(1)代数簇上的光滑点(2)零维诺特局部环(3)一维诺特局部整环(4)曲线在光滑点处3.正规代数簇(1)正规簇上的奇点集(2)正规簇上的正则函数(3)正规簇上的除子4.代数簇之间的态射(1)态射(2)态射的像、原像和纤维(3)态射由局部环同态决定5.有限态射(1)环的有限扩张(2)有限态射(3)有限态射的定义方程(4)双有理等价(5)有限态射的正规化6.纤维的维数7.纤维的不可约性8.纤维的光滑性(1)映射的微分(2)纤维的光滑点(3)光滑点的

6、邻域是完全交(4)映射在光滑点处的解析表示(5)映射光滑点组成Zariski开集(6)主要定理的证明9.射影代数簇(1)射影空间(2)方程组在无穷远处的解(3)射影齐次坐标与仿射坐标(4)齐次坐标环(5)射影代数簇上的有理函数与正则函数(6)不可约代数簇的维数Chapter4.代数曲线1.代数曲线的局部性质(1)代数曲线介绍(2)平面代数曲线(3)曲线的重数与切线2.平面曲线的局部相交数3.贝祖定理(1)贝祖定理(2)曲线的拐点4.诺特定理与Cayley-Bacharach定理5.有理函数的零点与极点的重数计算6

7、.L(D)的定义与计算7.L(D)的基本性质8.Riemann-Roch定理及其证明9.三次曲线的群结构和分类(1)标准方程(2)群结构(3)三次曲线的几何(4)有理点计算(5)三次曲线的分类与j不变量10.Riemann-Roch定理的应用(1)相伴线性系的性态(2)曲线典范映射的性态(3)亏格0曲线的分类(4)亏格1线的分类(5)亏格2曲线的分类(6)超椭圆曲线(7)非超椭圆曲线11.曲线上的有理微分形式与Hurwitz公式考核方式闭卷考试教材谈胜利《交换代数与代数几何基础》参考书目及文献M.F.Atiya,

8、I.G.MacdonaldHartshorne