浅谈合情推理的教学

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1、第18卷第6期工　科　数　学Vol.18,№.62002年12月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYDec.2002浅谈合情推理的教学黄　明(武汉大学数学与统计学院,武汉430072)[摘　要]论述了合情推理与逻辑推理的关系、在高等数学教学中渗透合情推理的意义,并结合教学实践就通过合情推理引入数学理论,探求问题结论,探索解题方法作了初步探讨.[关键词]合情推理;逻辑推理;演绎[中图分类号]G42411;O13[文献标识码]C[文章编号]100724120(2002)0620047205传统的大学数学教学从教材到内容,都过分侧重数学演绎

2、,过分强调逻辑推理.也就是往往把数学视为一门纯理论科学.这只注重了数学的一个方面,事实上“数学家的创造性工作是论证推理,即证明.[1]但这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的.”合情推理(或猜想)是一种对研究的对象或问题进行观察、实验、联想、类比、归纳,依据已有的材料的知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法.纵观数学发展史,很多著名的数学结论都是从猜想开始(如哥德巴赫猜想、费马猜想、欧拉猜想等),然后再去设法证明的.因此,“为了取得真正的成就,学生必须学习合情推理.这正是他的创造性工作所赖以进行的那种推理.”(波利亚)因此,在大学数学教学中渗透猜想,

3、无疑是培养学生数学思维能力与科学研究能力的一个重要途径.本文将结合高等数学中的若干问题对此进行探讨.1　追求数学严密的逻辑性中引入猜想,全面反映数学的两个侧面波利亚认为:“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学东西,用欧几里德方法提出来的数学看起来象一门系统的演绎科学,但在创造过程中,数学看起来象一门实验性的归纳科学”.为此,在数学教学中对逻辑推理与合情推理应同时并重.“既教证明,又教猜想”,并努力使猜想与证明恰到好处地结合起来.给严谨、抽象的内容增添几分生动活泼,从而使教学双方共同感受发现的乐趣和数学的理性美.P21例1计算积分I=Kdx.∫01+(tanx)

4、这是见于多种高等数学辅导书籍的一道典型例题.当K=0时,积分易求得.当K≠0时,被积函数只可能有x=0或x=Pö2这两个可去间断点,故可积.但却不能用常规的定积分计算方法求得,辅导书中给出的解法如下:P令x=-u,则2PPPK21212(tanu)Kdx=Kdu=Kdu,∫01+(tanx)∫01+(cotu)∫01+(tanu)PPK212(tanx)P从而　2I=Kdx+Kdx=.∫01+(cotx)∫01+(tanx)2P故I=.4[收稿日期]200121122748工　科　数　学　　　　　　　　　　　　　　第18卷但在教学中倘若仅将上述解法照本宣科一番,学

5、生难免会对所作代换产生几分神秘、困惑之感.怎样想到作此代换?对此,若不深入发掘,诱发合情推理,则讲完此题后学生所得仅限于一题一法,思维受限,收获不大.这时,教师可引导学生采取类比方法并结合几何直观引入猜想,则局面就豁然开朗了.不妨先考虑特殊化情形:K=1.P21I=dx.∫01+tanx先作出f(x)=1+tanx的图形以探求解题思路,见图1.Pf(x)过点C(0,1).由x=为f(x)的可去间断点,补充定义2PPf=0后可认为f(x)过A,0.进一步发现f(x)还过点22P1P,.由P为A,C两点连线中点的事实,可使我们不禁猜想:曲42线f(x)可能关于点P对称

6、.再结合定积分几何意义,所求定积分等于矩形ABCD面积的一半.因此关键就是证明上述猜想的正确性.为PP此,只需证明P是点(x,f(x))和点-x,f-x的中点.22图1P11tanx由f-x===,有2P1+cotx1+tanx1+tan-x21P11tanx1f(x)+f-x=+=,2221+tanxtanx2故猜想正确,从而问题迎刃而解.P事实上,由上述验证过程,还可看出代换x=-u的理由.自然可将上述讨论推广到一般情形,即2PP2121P求Kdx,可作类似的猜想,并经过类似的分析推导过程可得Kdx=.同样根据∫01+(tanx)∫01+(tanx)2P所作的

7、分析推导,亦可得到代换x=-u.22　在数学概念、数学结论的教学中,引入猜想,揭示数学思维过程前苏联数学教育家斯托利亚尔指出:“数学教学是思维活动的教学”.因此,充分暴露数学思维过程应成为数学教师的首要任务.而教师要揭示数学思维过程,一定程度上来源于模拟数学家的探索过程,而这种过程往往自猜想开始.“以最后确定的形式出现的定型的数学,好象是仅含证明纯论证性的材料.然而,数学的创造过程与其他知识的创造过程是一样的.在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细证明之前,你先得猜测证明的思路,你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比.你得一次又一次地

8、进行尝试”