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1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2.空间向量的运算:定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OB=OA^-AB=a+b；BA=OA-OB=a-b；OP=Aa(AeR)运算律：(1)加法交换律:a+b=b+a⑵加法结合律：(a+方)+c=a+(&+c)⑶数乘分配律：2(a+b)=Aa+Ab运算法则：三角形法则、平行四边
2、形法则、平行六面体法则1.共线向量：(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,云平行于5,记作4〃亍。(2)共线向量定理：空间任意两个向量N、b(厶HO),a//b存在实数久，使厅=人方。(3)三点共线：A、B、C三点共线<=>AB=^AC<=>OC=xOA+yOB,其中x+y=l(4)与：共线的单位向量为土a2.共面向量:(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果两个向量Z厶不共线，〃与
3、向量久5共面的条件是存在实数圮丁使。p=xa+yb(1)四点共面：若a、b、c、p四点共面<=>AP=xAB+yAC<=>OP=xOA+yOB+zOC,其中兀+y+z=l1.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量7,存在一个唯一的有序实・•—♦—♦—♦数组兀,”z,使p=xa+yb+zco若三向量不共面，我们£厶“把叫做空间的一个基底，不,；叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X^y^Z9使O
4、P=xOA+yOB+zdc。2.空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点a,存在唯一的有序实数组(兀,y,z),使0A二xi+yi+zk,有序实数组(兀y,z)叫作向量A在空间直角坐标系0-小z中的坐标，记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平
5、面yOz中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用｛ij.k｝表示。空间中任一向量a=xi+yj+zic=(x,y,z)(2)空间向量的直角坐标运算律:①若4=（。1<2皿3）'〃=（久#2#3），贝!）4+厶=（°1+方1，幻+〃2<3+），fffa-b=（ai一方［9。2一〃2，。3一方3），2^=（加1，加2，加3）（2€R）,ff—>fab=aibi+a2b2+,«///><=>at=Mna2=肋2心=^3ER）a丄boalbl+a2b2+a3b
6、3=0②若Ag,yi,Zi),B(x2,j2,z2),则AB=(x2-xi9y2-yl9Z2-Zt)o一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③中点坐标公式：若A(X]J,Z]),B(x2,y2,z2),当P为AB中点时，p(卫严，冲1)乙乙乙④AABC中，A(Xj,jjzx),B(x2,y2,z2)»C(x3,j3,z3),三角形重心P坐标为p(兀1+兀2+兀3儿+丿2+丿3Zi+Z2+Z3)3'3'3(2)模长公式:若a=(a{,a2,a3),b=(bl9h2,b3),
7、贝!
8、
9、«
10、=•a=(a/+也2+打，(5)夹角公式:Q0I+a2b2+a3Z?3J。：+02,+。3?Jb：+?2+材△ABC中①正•农>0<=>A为锐角®AB^AC<0<=>A为钝角，钝角△(6)两点间的距离公式:若A(兀］,必,可),B(x2,y2,z2),贝!)
11、A51==J(X2—X
12、)2+(y2—yj2+(Z2—Z
13、)2，或”a,B=J(*2—兀【)2+(歹2—y)2+(乙2—Z
14、)2OA=a.OB=b,1.空间向量的数量积:(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量久方，在空间任取一点O,作—>—*
15、则zaob叫做向量亍与方的夹角，记作；且规定0<<71,显然有=•若<万,方>=£,则称厅与5互相垂直，记作：Q丄方。2(2)向量的模：设OA=a9则有向线段刃的长度叫做向量N的长度或模，记作:
16、S
17、o—>—>(3)向量的数量积：已知向量讣,贝i\d-b-cos叫做方的数量积，记作&•方,—►—►—>
