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1、曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2013730059专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的
2、未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。设x和y的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中c1，c2，……cm是m个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。都对应于xy平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取m组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f（x；
3、c1，c2，……cm）（0-0-2）式中i＝1，2，……，m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。显然Nm的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y的观测值yi围绕着期望值摆动，其分布为正态分布，则yi的概率密度为pyi12iyifxi;c1,c2,......,cm222expi,式中i是分布的标准误差。为简便起见，下面用C代表（c1，c2，
4、……cm）。考虑各次测量是相互独立的，故观测值（y1，y2，……cN）的似然函数211Nyfx;CL2N12...expNi2i2i1.取似然函数L最大来估计参数C，应使yN12ii1ifxi;Cmin2（0-0-3）取最小值：对于y的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子i1/2i，故式（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值yi2的偏差的加权平方和为最小。根据式（0-0-3）的要求，应有N12yicki
5、1ifxi;Cccˆ0k1,2,...,m从而得到方程组yN12ii1ifxi;Cfx;CCkccˆ0k1,2,...,m（0-0-4）解方程组（0-0-4），即得m个参数的估计值cˆ1,cˆ2,...,cˆm，从而得到拟合的曲线方程fx;cˆ1,cˆ2,...,cˆm。2然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若yi服从正态分布，可引入拟合的x2量，1Nxy22ii1ifxi;C（0-0-5）把参数估计cˆcˆ1,cˆ2,...,cˆm代入上式并比较式（0-0-3），便得到最小的x2值x2mi
6、nN1y2ii1ifxi;cˆ2（0-0-6）2可以证明，xmin服从自由度v＝N-m的x2分布，由此可对拟合结果作x2检验。22由x2分布得知，随机变量xmin的期望值为N-m。如果由式（0-0-6）计算出xmin接近N-m（例如2xminNm），则认为拟合结果是可接受的；如果x2minNm2，则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm,ym)；将这些数据描绘在x-y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一
7、条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。Y计=a0+a1X(式1-1)其中：a0、a1是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi-Y计)2〕最小为“优化判据”。令:φ=∑(Yi-Y计)2(式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ=∑(Yi-a0-a1Xi)2(式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。(式1-4)(式1-5)亦即：m
8、a0+(∑Xi)a1=∑Yi(式1-6)(∑Xi)a0+(∑Xi2)a1=∑(Xi,Yi)(式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0=(∑Yi)/m-a1(∑Xi)/m(式1-8)a1=[∑XiYi-(∑Xi∑Yi)/m]/[∑Xi2-(∑Xi)2/m)](式1-9)这时把a0、a1代入(式
