如何构造自然界神奇及黄金分割

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1、如何构造自然界神奇的黄金分割？提到黄金分割0.618，大家首先想到的必然是神秘的大自然以及那些伟大的艺术作品。其实，在数学内部，0.618也无处不在。黄金分割常常意外地出现在一些极其简单的几何构造中，可谓是黄金分割之美的另一种视觉盛宴。在这里，我们有意略去证明过程，因为结论实在太优雅了，说得太多恐怕会破坏美感。感兴趣的读者不妨自己试着证明一下。五角星中的黄金分割点在正五角星中，每条线中间的点都是这条线段的黄金分割点。例如，上图中，点B就是线段AC的黄金分割点。三根木杆搭出黄金分割点在水平地面的A点处竖立一

2、根木杆AB。把一根相同长度的木杆CD斜靠在AB上，其中D点正好是AB的中点。再把一根相同长度的木杆EF斜靠在CD上，其中F点正好是CD的中点。则点C是线段AE的黄金分割点。用正多边形构造黄金分割点作等边三角形ABC。以BC为边向外作正方形BCDE。以C为圆心，CE为半径画弧，与AB所在直线交于点F。则B是线段AF的黄金分割点。3:4:5直角三角形中的黄金分割点如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，由勾股定理，这个三角形是一个直角三角形。在所有边长均为整数的直角三角形中，这是最小的直角三角形。这一性质让它

3、成为了最经典的直角三角形之一。想不到，利用这个经典的直角三角形，也能快速构造出黄金分割来。作一个3:4:5的直角三角形ABC。作角B的角平分线，与AC交于点D。以D为圆心，DA为半径作圆，与角平分线分别交于E、F。则E是线段BF的黄金分割点。等边三角形与外接圆构成的黄金分割点作等边三角形ABC。D、E分别是AC、BC的中点。DE的延长线与整个三角形的外接圆交于点F。则E是线段DF的黄金分割点。三个圆确定出来的黄金分割点以AB为半径，分别以A、B为圆心作圆。BA的延长线与圆A交于点C。以C为圆心，CB为半径

4、作圆。连接图中所示的D、E两点，它与AB交于点F。则F是AB的黄金分割点。三个相交等圆中的黄金分割点作等边三角形ABC。以它的边长为半径，分别以A、B、C为顶点作三个等圆，其中⊙A、⊙B两圆交于点D，⊙A、⊙C两圆交于点E。CD与⊙C交于点F。以E为圆心，EF为半径作弧，与AB交于点G。则G是AB的黄金分割点。三个相切等圆中的黄金分割点三个等圆依次相切，它们又都紧紧地包含在一个半圆中。则半圆的半径与小圆的直径是黄金分割比，也就是说图中B是线段AC的黄金分割点。单规作出黄金分割点以AB为半径，分别以A、B为

5、圆心作圆，两圆相交于C、D两点，同时这两个圆分别与直线AB交于E、F两点。分别以A、B为圆心，AE、BF为半径作圆，两圆相交于点G。由对称性，C、D、G三点显然共线。则D是线段CG的黄金分割点。注意，即使没有AB这条线，我们也能通过作出以C为圆心CD为半径的圆，确定出E、F两点来。因此，我们就有了一种不用直尺，只用圆规就能作出黄金分割的方法来。你最喜欢哪种构造？