2、^
3、定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立,在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作反证法.2.反证法的证题步骤（1）作岀否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾;（3）否定假设,肯定结论.［归纳•升华•领悟］「1.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的FI的.2.可能出现孑盾的四种情况：（1）与题设矛盾；（2）与假定矛盾；（3）与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论.［对应学生用书P8］KXB
4、I用反证法证明否(肯)定式命题[例1]已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证：込，y[b,讥不成等差数列.[思路点拨]此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项.[精解详析]假设羽，讥成等差数列，则y[a+y[c=2y[bf即G+c+2^/^Z=4b,而b2=acf即b=y[acf.*.a+c--2y[ac=4y[acf(y[a~y[c)2=0,即込=y[c,从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾，故训，&不成等差数列.[一点通](1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采
5、用反证法.一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题.//////1.已知Q是整数，/是偶数，求证：Q也是偶数.证明：假设a不是偶数，则G为奇数.设a=2m+1(/7?为整数)，则a2=4〃「+4加+1.4伽2+m)是偶数，.・.4加2+4加+1为奇数，即/为奇数，与已知矛盾.:.a一定是偶数.2.如图，正方体ABCD・AB、C、D中，点M是⑷卩的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线AN是两条异面直线.证明：假设直线3M与MiN共面.则/Qi平
6、面ABND,且平面AyBNDyQ平面ABCD=BN,由正方体特征知AXD//平面ABCD,故AD//BN,又ADX//BC,所以BN//BC.这与BNCBC=B矛盾，故假设不成立.所以直线与直线/1N是两条异面直线.
7、L^用反证法证明唯一性命题［例2］求证函数/(x)=2x+l有且只有一个零点.［思路点拨］一般先证存在性，再用反证法证唯一性.［精解详析］(1)存在性：因为2X+1=0,所以一*为函数/(x)=2x+l的零点.所以函数/(x)=2x+l至少存在一个零点.(2)唯一性：假设函数f(x)=2x+l除一*外还有零点』兀0工一*)，则./(一*)=/(兀0)=0.
8、即2X+1=2兀()+1.*.Xo=—这与必工一*矛盾.故假设不成立，即函数,/«=2x+l除一*外没有零点.综上所述，函数./(x)=2x+1有且只有一个零点.［一点通］(1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题,由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了.(2)"有且只有”的含义有两层①存在性：本题中只需找到函数J{x)=2x+的一个零点即可.②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性.〃題他集轲'〃〃/1.过平面6(上一点作直线。丄G,求证：Q是唯一的.证明：假设G不是唯一的，则过点/至少还
9、有一条直线b满足b丄久•・1,b是相交直线，・・・d,b可以确定一个平面0.设G和〃相交于过点/的直线C.•.•。丄么，b丄a,...a丄c,b丄c,又aQb=Af・°・c丄〃.这与c“矛盾.故过点力垂直于平面a的直线有且只有一条，即a是唯一的.2.用反证法证明：过己知直线。外一点/只有一条直线b与己知直线a平行.证明：假设过点/还有一条直线//与已知直线g平行，即bCb'=/,b1//a.因为b//af由平行公理知Z///b.这与假设h^h'=力矛盾，所以过直线外一
