高二数学选修21全册课件212曲线方程的求法

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1、1．知识与技能进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法．2．过程与方法了解求曲线方程的几种常用方法，能够利用它们去求曲线的方程．重点：轨迹方程的求法．难点：求曲线的方程的思路．在求轨迹方程时，要注意题设条件对变量的限制，这一点易被忽视，如求某一三角形的顶点的轨迹方程时，要排除三点共线的情况．求出轨迹方程后，将方程所表示的曲线在原图中大致画一下，看有没有多余的或漏掉的点．求曲线方程的常用方法(1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整理、化简．(2)定义法：若动点的轨迹满

2、足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．(4)代入法：动点M(x，y)随着动点P(x1，y1)的运动而运动，点P(x1，y1)在已知曲线C上运动，可根据P与M的关系用x，y表示x1，y1，再代入曲线C的方程，即可得点M的轨迹方程．(5)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后

3、消去参数得到轨迹方程．1．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出；(2)通过曲线的方程，研究．表示曲线的方程曲线的性质2．求曲线的方程的步骤[例1]　过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．[点评]　1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整理可得．2．解题过程中，要注意使用某种形式时是否受到某些条件的限制而丢掉个别点，如使用斜率求解时限制条件是斜率存在，因而可能漏掉斜率不存在的点．必须找一找是否漏掉了．有时也可能使范围扩大了

4、，多出了不合要求的点，要通过最后的检验“防失去伪”．[解析]设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.化简得y＝9x2＋12x＋3.故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直线AB的交点)[例3]　求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称曲线的方程．∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上，∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1∴有(－y－1)2＋(－x－1

5、)2＝1，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1[点评]　代入法适用于所求动点与另一动点有密切联系，(这两个动点可通过具体式子联系起来)，而另一个动点在已知定曲线上运动(或者另一个动点的几何条件好找的情形).[例4]　设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[点评]　本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取方法．[例5]　已知点A(0,3)点B(3,0)，若曲线C：y＝－x2＋mx－1与线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围．[辨析]错误的原因是线段AB，而不是直线AB.可以求

6、出AB的方程式x＋y＝3，线段AB的方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)，若抛物线与线段AB有两个不同交点，等价于两方程组成的方程组在[0,3]内有两组不同实数解，可借助一元二次方程根的分布来解决．[答案]C2．方程x2－y2＝0表示的图形是(　　)A．两条相交直线　　　　B．两条平行直线C．两条重合直线D．一个点[答案]A[解析]方程x2－y2＝0可化为y＝±x，故它表示两条相交直线．[答案]B二、填空题4．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)距离的2倍，则动点的轨迹方程为________．[答案]3x2＋4y2＝485．M为直线l：2x－y＋3＝0上的

7、一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP：PM＝3，则动点P的轨迹方程为________．[答案]8x－4y＋3＝0三、解答题6．已知点A(－1,0)，B(1,0)，分别过A、B作直线l1与l2，使l1⊥l2，求l1与l2交点P的轨迹方程．