2012-2013学年秋季学期《微积分a4》(a卷)答案

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1、第1页(共5页)成绩A、B、C、D、得分评卷人二.填空题：（每小题3分，共15分）6、的麦克劳林展开式为；7、幂级数在上的和函数为；8、微分方程的通解为；9、设为平面被柱面所限的部分，则的面积为；10、设为球面的外侧，则曲面积分。草稿区上海大学2012～2013学年秋季学期试卷A卷微积分A（四）（课程号01014099）参考答案和评分标准应试人声明：我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。应试人应试人学号应试人所在院系题号一二三四五六得分15152028166得分评卷人一.单项选择题

2、：（每小题3分，共15分）1、幂级数的收敛域为（A）A、B、C、D、2、设幂级数、和收敛半径分别为、和，则（B）A、B、C、D、3、微分方程必有如下形式的特解(D)A、B、C、D、4、设为抛物线上从点到点的弧段，则曲线积分（B）A、B、C、D、5、设为正方向的圆周，则曲线积分(C)第2页(共5页)14、设向量场，求散度和旋度。解：记，，，则，1+1分2+1分草稿区得分评卷人三.计算下列各题：（每小题5分，共20分）11、设是方程为的星形线，求其弧长。解：，2分1分由对称性，1分1分12、计算曲面积分，其中是半锥面上的部分。解：，2分1分原式，其中表示在面上的投影1分1分13、计算曲线积分，

3、其中是正方向的椭圆。解：记为反方向的单位圆，为与所界区域，，由格林公式，1分1分而，1分1分故1分第3页(共5页)18、求幂级数在上的和函数。解：，，1分，，，1分1分，，，1分2分故，1分草稿区得分评卷人四.计算下列各题：（每小题7分，共28分）15、求微分方程满足初始条件和的解。解：令，则，方程在附近可化为，1+1+1分在两端积分并化简，1分由初始条件时，和，即有，1分在两端积分：，再由初始条件，故或1分1分16、求微分方程的通解。解：令，有，即（*）1+1+1分特征方程的根，（*）有特解，1+1分代入（*），，即，1分（*）的通解，故原方程通解1分17、将展开为的幂级数，并指出其收敛

4、域。解：，利用，2+1分，，1+1分故，收敛域为1+1分第4页(共5页)草稿区得分评卷人五.计算下列各题：（每小题8分，共16分）19、计算曲面积分，其中是半球面，的上侧。解：添一平面：，并取下侧，则构成一封闭曲面（取内侧），记所围区域为，在面上的投影，由高斯公式2分注意到对称性，有，1+1+1分而，1+1分故1分20、设二阶连续可微，且使曲线积分与路径无关，试求所有满足条件的函数。解：记，，由积分与路径无关的条件2分有，即，（*）1分由于特征方程的根，，1分（*）有特解，1+1分代入（*），，1分故1分第5页(共5页)草稿区得分评卷人六.应用题：（共6分）21、有甲乙两人，乙对甲采取盯梢

5、，即乙的行进方向指向甲的位置并保持与甲的距离不变。若甲和乙的初始位置坐标分别为和，且甲沿轴正向行进，试求出乙行进的轨迹方程。解：设同一时刻甲和乙的位置坐标分别为和，由乙的行进方向与乙甲位置的连线一致可得2分又由于甲乙的初始距离为1，且距离始终保持不变，故有，1分，1分从而（可通过代换完成计算）1分将时代入，即乙行进的轨迹方程为1分