附录a数学建模训练题

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1、附录A数学建模训练题1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变，你是否走得越快，淋雨量才越少呢？（1）将人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧：顶=1：a：b，选坐标系将人的速度表为（v，0，0），即沿x轴方向行走，v>0，而设雨速为，行走距离为L，写出淋雨量的表示式。（2）用图解法说明在什么情况下，走得越快淋雨量越少，在什么情况下则不是这样。2.假设岛上不断有大陆来的移民，再假设t时刻大陆上有S种人，岛上有N（t）种人。移民到岛上并在那边开拓殖民地的新人种的增加速度为大陆上尚未移居到岛上的人种数成

2、比例。此处人种的灭绝速度与岛上的人种数成比例。请建立模型预测岛上的人种数将会达到一种什么状态，并画出其与t的函数曲线。3.草地网球比赛常因下雨而被迫中断，防水覆盖层并非经常有效，所以只有草坪的最上层充分干以后，才能继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去，一些机械装置可用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干。能否建立一个数学模型来表示这一干燥过程？4.请你就姓氏的延续和消失的社会问题进行研究。考虑一个在时刻t=0有K个不同姓氏的N个人构成的封闭社会系统，假设所有后代都随父姓，

3、为回答以下问题，请做出必要的假设并建立一个数学模型。a)x代以后姓氏的分布规律b)某一姓氏消失的规律c)一个姓氏存在的平均时间5.据报道，某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%，0.55%和-4.50%，假设开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势。(1)3种自然环境下25年的变化过程(作图)(2)如果每年捕获3只，会发生什么情况?山猫会灭绝吗?如果每年只捕获1只呢?(3)在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只?6.追逐问题

4、（1）一个慢跑者在平面上沿抛物线以恒定的速率v跑步，设抛物线方程为：。突然有一只狗攻击他，这只狗从原点出发，以恒定的速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者。设开始时慢跑者位置为（5，25）求出v=1,时狗的运动轨迹(画出图形)。（2）设开始时人在A处坐标，狗在原点O处，如果人沿着平行于x轴正方向行走，请建立数学模型求狗运动的轨迹。设v=1m/s，w=3m/s，求数值解并画出狗的轨迹。并研究解析解。（要求提供源程序）7.长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成

5、本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便

6、面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。8.在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的。已知标准球场若长为104m，宽为69m，球门高2.44m，宽为7.32m。据统计资料显示，射门时球速一般在10m/s左右，请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析，并研究如下问题：(1)针对球员在不同的位置射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域；(2)在有一名守门员防守后情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究；(3)选取球场的某一位置，请你给出球员带球

7、前进的最佳路径。9.估计动物数量估计一个有限封闭区域内生物数量，例如湖里的鱼，或森林里的松鼠。一种方法是抓到一些个体并给他们做上标记或系上标签，再放回原处，设想抓到了x只动物，做好标记后释放回去，过一段时间后，抓到了n只这类动物并发现其中有y只有标记。我们可以怎样估计这一地区该类动物的总数量N呢？估计出数量准确度如何？建立一个模拟模型来检查你的答案。对于x和n值的选取你有什么建议？10.假定早晨上班期间人们随机地进入一座摩天大楼里的电梯。结果有n部电梯在每一层楼都停下来，各下了一两位乘客。(1)讨论改善这种状况的

8、计划；（2）怎样衡量改善的程度？(3)怎样才能模拟这种状况以便决定采取什么计划？11.积压商品处理一位商人积压了一批滞销货，他想降低价格使存货脱手，换回货币并腾出场地以便购进和存放其他商品。对此他反复思索，犹豫不决，请你为他分析以下问题：在现有滞销货存量的情况下，售价可以调低到什么程度仍然有利可图？如果了解到多数商人已没有这种商品的存货，能否指望提高利润（纯利/总成本）？