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1、曲线曲面刘世光天津大学计算机学院内容ò参数表示ò参数表示的数学原理ò参数曲线ò参数曲面2内容ò参数曲面表示ò参数表示的数学原理ò参数曲线ò参数曲面3参数表示的数学原理：直线段ò考虑直线段P(x,y,z)→P(x,y,z)00001111ò参数表示RP(ttt)=(1−+)01P01≤t≤ò分量表示⎧x(tt)=−(1)x01+tx⎪⎨yt()=(1−+tyty)0101≤t≤⎪⎩zt()(=−+1tztz)01ò参数空间：01≤t≤4参数表示的数学原理：直线段ò直线段参数表示的直观几何意义ò参数空间中每一个参数(点)都对应于直线段上一个点ò参数空间的两个端点对应于直线段的
2、两个端点RP(0)=0RP(1)=15参数表示的数学原理：曲线ò一般三维参数曲线形式：R(tx)=((ty),,(tt)z())ò参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t)ò图形学中，参数空间通常是有限区间，此时参数曲线称为参数曲线段ò图形学中，参数函数通常为分段多项式或有理多项式曲线6参数表示的数学原理：平面ò双线性四边面片：RP(uv,)=−(11v)⎡⎤⎣⎦(−u)01+uP+v⎡⎤⎣⎦(1−u)P32+uP(u,v)∈[0,1]×[0,1]ò四边面片的四个顶点P、P、P和P对应0123于参数曲面的四个角点R(00)(0,0)、R(10)(1,0)、R(1,0)和
3、R(0,1)7曲面参数表示的数学原理双线性四边面片8参数表示的数学原理：曲面ò一般形式的空间参数曲面R(uv,,)=(xuv(),,y(uvzuv),,())ò参数空间中每一点(u,v)对应于曲面上一点R(u,v)ò如果曲面的参数空间是一个有限的定义域(如矩形)，则对应的参数曲面称为参数曲面片9参数表示的优势ò参数表示是显式的ò对每一个参数值，可以直接计算曲面上的对应点ò参数表示的物体可以方便地转化为多边形逼近表示ò曲面上的几何量计算简便(微分几何)：法向、曲率、测地线、曲率线等ò特殊形式的参数表示的外形控制十分直观òBézier、B-样条、NURBS(Non-Unifo
4、rmRationalB-Spline,非均匀有理B-样条)曲线/曲面。10内容ò参数曲面表示ò参数表示的数学原理ò参数曲线òBézier曲线òB-样条曲线òNURBS曲线ò参数曲面11Bézier曲线PierreBézier(1910.9.1-1999.11.25)发音：[BEHzeeehBEHzeeeh]Bézier曲线12Bézier曲线定义ò一条n次Bézier曲线：nRR(tB)=∑iin,(t)01≤t≤i=0多项式{B(t)}称为Bernstein基函数：i,niini−Bin,(tCtt)=−n(1)iCninin=−!!(()!)13Bézier曲线性质ò
5、端点插值：òR(0)=RR(1)=R0nò端点切向：òR′(0)=n(R−R)10òR′(1)=n(R−R)nn-1ò对称性：ò∑RB(t)=∑RB(t)in-ii,niii,n三次Bézier曲线ò曲线的控制顶点的几何地位是对称的14Bézier曲线性质ò凸包性：Bézier曲线位于控制多边形的凸包内ò几何变性何不变性：Bézier曲线的形状仅与控制多边形有Bézier曲线的凸包性关，与坐标系无关15练习òGivenfourcontrolpointsP0(0,0,0),P1((,,2,2,-2),P2((,2,-1,-1))andP3((,,)3,0,0).Please
6、computecubicBeziercurve(n(n3)=3)valuewhenuvaluewhenu0=01/32/3and1,1/3,2/3and1.P(0)={0,0,0}P(1/3)={13/9,2/3,-10/9}P(2/3)={20/90P(2/3)={20/9,0,-8/9}P(1)={3,0,0}16参数曲线的剖分绘制算法òBezier曲线采线通常采用递归剖剖分控制多边边形生成.ò每一次剖分均将曲线分为两段,每段构每一段构成一条新的Bezier曲线,且控制多边形更加靠近对应的Bezier曲线.17Bézier曲线的不足ò整体性质：当移动曲线的一个控制顶点
7、时，整条曲线的形状都会发生改变ò表示复杂形状时，需要将多条Bézier曲线光滑拼接起来。18内容ò参数曲面表示ò参数表示的数学原理ò参数曲线òBézier曲线òB-样条曲线òNURBS曲线ò参数曲面19B-样条曲线实列(了解)R2R1RR73R0R4R6R5三次(四阶)B-样条曲线20B-样条曲线的定义òB-样条多条曲线是分段连续的多项式曲线，其其与定义与节节向点向量密密关切相关ò定义在节点向量u={u,u,,,…,u,,,…,01iu}上的k次(k+1阶)、具有(n+1)个控n+k+1制顶点的B-样条曲线为：nRR(uN)=
