2006武汉大学高等代数

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1、武汉大学2006年硕士学位研究生入学考试线性代数试题参考解答高等代数资源网www.52gd.orgDecember19,20111声明您现在看到的这份文件来自http://www.52gd.org.本站原创的内容，采用创作共用组织（CreativeCommons）的“公共领域”（PublicDomain）许可。即放弃一切权利，全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本文而造成的一切后果承担任何责任.关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记住:别人

2、做是别人的，自己做才是自己的.作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:www52gdorg@163.com.2试题一.设矩阵A=T;其中是n维列向量,且T=1:(1)证明:A2=A;(2)证明:B=E+A+A2+


+An是可逆矩阵,并求B1:二.已知向量1=(1;2;4;3);2=(1;1;6;6);3=(2;1;2;9)4=(1;1;2;7);=(4;2;4;a):(1)求线性子空间W=L(1;2;3;4)的维数与一组基;(2)求a的值使得2W;并求在(1)所选基下的坐标.三.P[x]2表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间,已知f1=1x;

3、f2=1+x2;f=x+2x2是P[x]的一组基.P[x]的线性变换满足(f)=2+x2;(f)=x2;(f)=3221231+x+x2:1武汉大学2006线性代数参考解答www.52gd.org(1)求基1;x;x2到基f;f;f的过渡矩阵;123(2)设f=1+2x+3x2;求(f):四.设A=(1;2;


;r)是nr矩阵,B=(1;2;


;s)是ns矩阵,r(A)=r;r(B)=s:证明:若r+s>n;则必存在非零的向量;使得既可由1;2;


;r线性表示,又可由1;2;


;s线性表示.五.设A是m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵

4、.证明:BTAB正定的充要条件为r(B)=n:六.已知三阶矩阵A满足jAEj=jA2Ej=jA+Ej=:(1)当=0时,求jA+3Ej的值;(2)当=2时,求jA+3Ej的值.七.求矩阵010111B0011CA=BC@0001A0000A2A3的Jordan标准形,并求eA:(注意:按照通常定义:eA=E+A+++


:)2!3!八.设n阶矩阵A;B满足A+B=AB;且1;2;


;n是A的特征值.(1)证明:i̸=1;i=1;2;


;n;(2)证明:若A是实对称矩阵,则存在正交阵P使得112nPAP=diag(;;


;):11121n

5、九.设V是n维欧氏空间,1;2;


;n是V的一个标准正交基,(;)表示;2V的内积.令=a11+a22+


+ann;其中a1;a2;


;an是n个不全为0的实数.对于给定的实数k;定义线性变换()=+k(;);82V:(1)求在1;2;


;n下的矩阵A;(2)求A的行列式det(A);2(3)证明:为正交变换的充要条件为k=:a2+a2+


+a212n十.设数域K上的n阶矩阵A;B;C;D关于矩阵的乘法两两可换,且满足AC+BD=E:又设齐次线性方程组ABX=0;BX=0;AX=0的解空间分别为W;I;M;证明:W=IW:休

6、息一下,来张美图欣赏一下吧.◇※☆■◇◇※☆■◇2高等代数资源网http://www.52gd.org武汉大学2006线性代数参考解答www.52gd.org3参考解答一.设矩阵A=T;其中是n维列向量,且T=1:(1)证明:A2=A;(2)证明:B=E+A+A2+


+An是可逆矩阵,并求B1:证明:(1)A2=TT=TT=A:(2)由(1)有A2=A;A3=A2A=A2=A;


;An=A:故2nB=E+A+A+


+A=E+nA;且nnn22(E+nA)(EA)=EA+nAA=E:n+1n+1n+1n从而B可逆,且B1=EA:n+1二.已知向量1=(1;2;4;3

7、);2=(1;1;6;6);3=(2;1;2;9)4=(1;1;2;7);=(4;2;4;a):(1)求线性子空间W=L(1;2;3;4)的维数与一组基;(2)求a的值使得2W;并求在(1)所选基下的坐标.解:(1)即求1;2;3;4的秩与极大无关组.可求得1;2;4是其极大无关组.◇※☆■◇◇※☆■◇3高等代数资源网http://www.52gd.org武汉大学2006线性代数参考解答www.52