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《2014线性代数讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2014线性代数讲义授课教师：郭志军（2014,2—第二次修订）【前言】本讲义取材于编者2003—2004年编写的讲义。讲义内容虽历经十七年教学修订成稿，但错漏之处难免；请读者不吝赐教（联系方式：zijunyxq@163.com）！本次修订中未曾增添的内容如：线性规划的单纯形法、投入产出分析及层次分析法等，请读者参考有关教材，敬请谅解！第一章行列式§1行列式的定义§2行列式的性质§3行列式的按行（列）展开与Laplace展开§4行列式的计算§5Cramer法则第二章矩阵§1矩阵的概念和性质§2分块矩阵、矩阵的初等变换与初等矩阵§3矩阵、行列式及其应用第三章线性空间与线性方程组§1线性空间的
2、概念§2线性方程组及其解§3线性空间及线性映射§4欧几里得空间与线性赋范空间（Banach空间、Hilbert空间）简介第四章矩阵的相似、特征值（向量）及二次型§1矩阵的相似§2矩阵的特征值与特征向量§3矩阵的对角化、实对称矩阵§4二次型、矩阵的合同§5实二次型、正定二次型与正定矩阵第一章行列式（determinant）行列式源于求解线性方程组，其基础内容于19世纪由Cauchy所奠定；行列式的应用主要体现在：①求解线性方程组；②求矩阵的秩；③判断向量的相关性；④求矩阵的特1征值等等。目前，其理论也早已超出求解线性方程组的范围，而广泛应用于经济学、力学、工程数学等其他领域。§1行列式的定义
3、⎧axaxb+=对于二元方程组1111221，当⎨aa1122−aa1221≠0时，由消⎩axaxb+=2112222ba−baba−ba122212211121元法可求出x=，x=；注意到：解的分子、12aa−aaaa−aa1122122111221221分母均是方程组中未知量的系数及常数项的6个元素中4个元素的二次齐次多项式，其均由两项组成，而每一项都是不同行、不同列的两个元素的乘积！ab若记Da==d−bc，则方程组的解可写为：2cdbaab112111baab222212x=，x=；这里将上述D中abcd,,,排成的两行122aaaa11121112aaaa21222122ab两列
4、定义为ad−bc的符号称为二阶行列式。三元方程组cd的情形类似，也可通过定义所谓的“三阶行列式”，来描述方程组的解；这里，不再累述！从上述二、三阶行列式对于求解二、三元方程组的作用的得到启发，能否“引进”“n阶行列式”来讨论n元方程组的求解；我们先来分析二、三阶行列式DD,的特点：23①DD,均是一个数，它们分别是2!,3!项的代数和，而每一项23又是来自不同行、不同列的2个因子和3个因子的乘积；②带正号的项与带负号的项各占一半。若规定：每一项的各因子a按这样的顺序写出—第一个ij下标排成自然序；则易见：对于D，带正号的项第二个下标2排列为12，带负号的第二个下标的排列为21，与自然序12
5、颠倒；对于D，带正号的项第二个下标的排列分别是123、231和3312，带负号的项则为321、213和132；它们颠倒的个数分别为偶数和奇数；从而，颠倒个数的奇偶性决定该项的正负性！【排列（Arrangement）】由1,2,L,n这n个数（码）组成的任2一个有序数组iiLi称为1,2,L,n的一个n阶（级）排列。12n显然，n个数码1,2,L,n的不同排列有n!种！一般地，在一个排列里，如果一个较大的数排在一个较小的数之前，则称这两个数构成一个逆（反）序；称一个排列中出现的逆序总数为该排列的逆序数，记之为Niii(L)或τ(iiLi)。12n12n给定1,2,L,n的一个排列，可如下计算
6、逆序数：先看有多少个比1大的数排在1之前，设为m个；再看有多少个比2大1的数排在2之前，设为m个；依此类推，最后看有多少个比n−12大的数排在n−1之前，设为m个；从而，该排列的逆序数为n−1n−1∑mi个。i=1【例1.1.1】1）求排列523164879的逆序数；2）在自然数1,2,L,n的所有排列中哪个排列的逆序数最大？3）自然数1,2,L,n的任一排列iiLi的逆序数与正序数之和为多少；若Niii()L=k，12n12n则Nii()Li为多少？nn−11所谓偶（奇）排列，即逆序数为偶（奇）数的排列。【定义】设有n个数码组成的一个排列，若将排列里的任意两个数码ij,交换一次，而其余数
7、码保持不变，则得到一个新的排列；对于排列施行的这样一个变换，称之为一个“对换”，常用符号()ij,表示。【定理】排列经一次对换后奇偶性改变；任一个排列iiLi总12n可由排列12Ln经一系列对换得到，且对换的次数与Niii()L12n奇偶性相同。【定理】n≥2时，n个数码的奇、偶排列的个数相等！aa1112已经定义过=−aaaa；这里，a称为行列式的11221221ijaa2122元素，并约定：在一个行列式里，称横排为行
