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《概率论与数理统计(茆诗松)第二章讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章随机变量及其分布上一章研究内容：事件（集合A）→概率（数）．本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．事件（数）→概率（数）．§2.1随机变量及其分布2.1.1.随机变量的概念随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，不合格记为0．随机试验中，可将每一个样本点ω都对应于一个实数X(ω)，称为随机
2、变量（RandomVariable），常用大写英文字母X,Y,Z等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x,y,z．对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：⎧1,正面如掷硬币，X=⎨，X的全部可能取值为0,1；⎩0,反面掷两枚骰子，X表示掷出的点数之和，X的全部可能取值为2,3,4,…,12；观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0,1,2,…；电子元件使用寿命，用X表示使用的小时数，X的全部可能取值为[0,+∞)；一场足球比赛（90分钟），用X表示首次进球时间（分钟），若为0:0，
3、记X=100，X的全部可能取值为(0,90)∪{100}；注意：1.每个样本点都必须对应于一个实数，2．不同样本点可以对应于同一个实数，3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法．例掷一枚骰子，用X表示出现的点数，则X=1表示出现1点；X>4表示点数大于4，即出现5点或6点；X≤0为不可能事件．又出现奇数点，即X=1,3,5；点数不超过3，即X≤3．例X表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数），则X=0表示没有销售；X≤10
4、表示销售不超过10件．又销售5件以上（不含5件）即X>5；若该商店准备了a件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X≤a．例X表示一只电子元件的使用寿命（小时），则X=1000表示该元件恰好使用了1000小时，X≥800表示该元件使用寿命在800小时以上．例90分钟足球比赛，X表示首次进球时间（分钟），且0:0时，记X=100，则X=10表示上半场第10分钟首次进球．又上半场不进球即X>45；开场1分钟内进球即X≤1．如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排成一列，一
5、个一个往下数，如非负整数0,1,2,3,…）离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X（小时），全部可能取值是[0,+∞)．下面按离散型和连续型分别进行讨论．12.1.2.离散随机变量的概率分布列对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率．定义如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X的全部可能取值为x1,x2,…,xk,…，则X取值xk的概率pk=p(xk)
6、=P{X=xk},k=1,2,……称为离散型随机变量的概率分布函数（ProbabilityDistributionFunction，PDF），简称概率分布或概率函数．直观上，又写为Xx1x2LxkL⎛x1x2LxkL⎞或X~⎜⎟，Pp(x)p(x)Lp(x)L⎜p(x)p(x)Lp(x)L⎟12k⎝12k⎠称为X的概率分布列．如掷一枚骰子，X表示出现的点数，X的分布列为X123456111111．P666666概率函数基本性质：（1）非负性p(xk)≥0,k=1,2,……；∞（2）正则性∑p(xk)=1．k=1
7、这是因为事件X=x1,X=x2,…,X=xk,…是一个完备事件组，故P{X=x1}+P{X=x2}+…+P{X=xk}+…=P(Ω)=1，即p(x1)+p(x2)+…+p(xk)+…=1．例设盒中有2个红球3个白球，从中任取3球，以X表示取得的红球数．求X的分布列．⎛5⎞解：X的全部可能取值0,1,2，样本点总数为n=⎜⎜⎟⎟=10，⎝3⎠⎛3⎞1X=0表示“取到3个白球”，所含样本点个数为k=⎜⎟=1，有p(0)==0.1，0⎜⎟⎝3⎠10⎛3⎞⎛2⎞6X=1表示“取到1个红球2个白球”，所含样本点个数为k=
8、⎜⎟⎜⎟=6，有p(1)==0.6，1⎜2⎟⎜1⎟10⎝⎠⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞3X=2表示“取到2个红球1个白球”，所含样本点个数为k=⎜⎟⎜⎟=3，有p(2)==0.3．2⎜1⎟⎜2⎟10⎝⎠⎝⎠故X的分布列为X012．P0.10.60.3求离散型随机变量X的概率分布步骤：（1）找出X的全部可能取值，（2）将X的每一取值表示为事件，（3）求出X的每一取值的概率．例现有10件产品，其中有3
