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1、2002年3月纯粹数学与应用数学Mar.2002第18卷第1期PureandAppliedMathematicsVol.18No.1投入产出系统的完全需要系数矩阵的简化计算方法李西宁(宁夏大学数学与电算工程系,银川750021)摘要:对大型投入产出系统进行经济结构分析,需要考虑对投入产出系统的分解.-1由最终产品确定总产品,需要计算完全需要系数矩阵(I-A).由于投入产出系统-1-1的分析和计算的工作量主要集中于(I-A),本文给出了矩阵(I-A)的简化计算方法,它具有非常的实际意义.关键词:投入;产出
2、;矩阵中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1008-5513(2002)01-0032-041引言作为一种现代化管理方法,投入产出法既可用于宏观经济预测,又可以用于微观经济预测.在实际应用中,很多投入产出系统都可视为规模浩大、结构复杂的大经济系统.直接分析这些大系统往往是很困难的.如果一个投入产出系统可以分解为一些相互之间只存在单向影响的子系统,则对投入产出系统的分析,计算和预测是非常有用的.2关于简化完全需要系数矩阵计算的探讨设一个投入产出部门由n个部门组成,记直接消耗系统矩阵A=(aij
3、),总产品列向量X=TT[1](x1,x2,⋯,xn),最终产品列向量Y=(y1,y2,⋯,yn),则X与Y的关系为(I-A)X=Y(1)-1或X=(I-A)Y(2)求解方程组(2)的难易程度与直接消耗系数矩阵A的结构特性有关.如果A是分块三角阵或通过合同变换化为分块三角阵,则求解方程组(2)是比较方便的.如果A是分块三角阵,则表明投入产出系统中各部门之间只存在单向影响的顺联系,系统是可分解的.通常,A并不是分收稿日期:2000-11-22作者简介:李西宁(1964-)副教授,研究方向:经济数学第1期李
4、西宁投入产出系统的完全需要系数矩阵的简化计算方法·33·块三解阵,下面对A的不同形式进行讨论.2.1如果投入产出系统是可分的定义1将单位矩阵I的两行(两列)互换后得到的矩阵称为对换阵.定义2对换阵的乘积称为置换阵.T-1T显然,置换阵的乘积仍是置换阵,对于置换阵P,容易验证P=P,其中P为P的转置矩阵.定义3矩阵A=(aij)n×n(n≥2)称为是可分的,如果存在置换阵P,使得BCTPAP=0D其中B,D为方阵.否则,称A是不可分的.定理1A=(aij)n×n是可分的充分必要条件是存在一个数和n维向量x
5、,≥0,x≥0,[2]但x≯0,使得Ax≤x.如果投入产出系统是可分的,则存在置换矩阵P,使得TBCTBCPAP=,即A=PP0D0DTBC-1将A=PP代入(I-A)并加以简单运算可得0D-1-1TI-B-C(I-A)=PP0I-D等式右端只涉及到分块三解阵的求逆,因此计算工作量大为减少.2.2投入产出系统是不可分的定理2设A为直接消耗系数矩阵,则-1B0+B1+⋯+Bn-2+Bn-1(I-A)=(3)1+a1+⋯+an-1+an其中,Bk(k=0,1,2,⋯,Bn-1)均为n阶方阵,并且由下式决定
6、B0=IB1=B0A+a1IB2=B1A+a2I⋯⋯Bn-1=Bn-2A+an-1I-Bn-1A=anInn-1而ak为矩阵A特征多项式f()=+a1+⋯+an-1+an的n-k次幂的系数,k=1,2,⋯,n.[3]证明设B()是I-A的伴随矩阵,f()是A的特征多项式,有B()(I-A)=I-AI=f()I(4)因为矩阵B()的元素是E-A中各个元素的代数余子式,都是的多项式,其次数不超过n-1,因此,由矩阵的运算性质·34·纯粹数学与应用数学第18卷n-1n-2B(
7、)=B0+B1+⋯+Bn-1(5)其中,B0,B1,B2,⋯,Bn-1都是n×n数字矩阵.再设nn-1f()=+a1I+⋯+an-1+an,则nn-1f()I=I+a1I+⋯+an-1I+anI(6)nn-1n-2而B()(I-A)=B0+(B1-B0A)+(B2-B1A)+⋯+(Bn-1-Bn-2A)-Bn-1A(7)比较(6)与(7)得B0=IB1=B0A+a1IB2=B1A+a2I⋯⋯Bn-1=Bn-2A+an-1I-Bn-1A=anI其中ai为A的特征多项式的系数,
8、i=1,2,⋯,n.由B()(I-A)=f()I,则当=1时,有-1B(1)B0+B1+⋯+Bn-2+Bn-1(I-A)==f(1)1+a1+⋯+an-1+an为了利用直接消耗系数矩阵A提供的信息,递推公式还应在形式上作一些变化,即把所有的B都用A的各次幂来表示.很容易证明Bk可表示为kk-1k-2Bk=A+a1A+a2A+⋯+ak-1A+akI(8)k在上式中,由于A是已知的.因此,计算量很小.令M=B0+B1+B2
