-线性代数方程组的解法-lu分解

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1、第6章线性方程组的求解方法6.1引言与预备知识6.2高斯消去法6.3矩阵三角分解法6.4向量和矩阵的范数6.5误差分析6.6共轭梯度法16.1引言与预备知识26.1.1引言在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。3常见的线性方程组是方程个数和未知量个数相同的n阶线性方程组，一般形式为⎧a11x1

2、+a12x2+...+a1nxn=b1⎪⎪a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2⎨(6.1)......⎪⎪ax+ax+...+ax=b⎩n11n22nnnn简记为Ax=b，其中⎡a11a12...a1n⎤⎡x1⎤⎡b1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥aa...axb⎢21222n⎥⎢2⎥⎢2⎥A=,X=,B=⎢......⎥⎢...⎥⎢...⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣an1an2...ann⎦⎣xn⎦⎣bn⎦4线性方程组的数值解法一般有两类：1.直接法经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差).但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解.

3、回顾已经学过的一种求解线性方程组的直接方法5克莱姆法则：⎧ax+ax++ax=b⎪1111221nn1⎪ax+ax++ax=b如果线性方程组2112222nn2⎨⎪⎪ax+ax++ax=b⎩n11n22nnnn的系数行列式不等于零,即aaa11121naaa21222nD=≠0aaan1n2nn6则方程组有唯一的解,且唯一的解为DDD12nx=,x=,,x=,12nDDD其中D(j=1,2,…,n)是系数行列式D中第jj列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即aabaa111,j−111,j+11nDj=aabaan

4、1n,j−1nn,j+1nn7⎧2x+x−5x+x=8,⎪1234⎪⎪x−3x−6x=9,124例：解线性方程组⎨⎪2x2−x3+2x4=−5,⎪x+4x−7x+6x=0,⎪⎩1234解:系数行列式为2151−07−5137513rr12−21306−−1306−−21+D=======1(1)212×−−0212−rr−0212−42771−21476−07−712CC−2−−35312−33=====−−010==27≠0故方程有唯一解.CC32+2−−728−−−7722151−81−511306−−D=D=9−30−6=810212−1−52−121476−04−7628−5

5、12181190−6D=1−39−6=−27D==−1083202−520−5−1210−761406DDDD21−581234x=,x=,x=,x=,由1234DDDD1−309D==27402−1−5得唯一解为14−70x=3,x=−4,x=−1,x=112349通过上述例子,我们看到用克莱姆法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克莱姆法则.但这并不影响克莱姆法则在线性方程组理论中的重要地位。克莱姆法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.10直接方法中，最具有代表性的

6、就是高斯-约当消去法。该方法适用于求解低阶稠密矩阵方程组及大型稀疏矩阵方程组。2.迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解)11迭代法实现的基本步骤：（1）选定根的初始近似值（2）按照某种原则生成收敛于根的近似点列12迭代法的优点：（1）计算机存储量小；（2）程序设计简单；（3）初始方程组系数矩阵在计算过程中保持不变。迭代法必须考虑的关键问题：（1）算法的收敛性问题（2）算法的收敛速度问题收敛性与收敛速度是如何定义的？136.1.2再谈向量和矩阵用m×n表示全部m×n实矩阵的

7、向量空间，m×n表RC示全部m×n复矩阵的向量空间.⎡aaa⎤11121n⎢⎥m×n⎢a21a22a2n⎥A∈R⇔A=(a)=ij⎢⎥⎢⎥⎢⎣am1am2amn⎥⎦这种实数排成的矩形表，称为m行n列矩阵.⎡x⎤1⎢⎥n⎢x2⎥称为n维列向量.x∈R⇔x=⎢⎥⎢⎥14⎢⎣xn⎥⎦写成列向量的形式A=aaa(12n)其中ai为A的第i列.也可写成行向量的形式⎛T⎞b1⎜⎟T⎜b2⎟A=⎜⎟⎜⎟⎜T⎟b⎝m⎠T其中bi为A的第i行.15矩阵的