2018年高中数学黄金100题系列第74题双曲线中的基本问题文

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1、精彩解读*=1(0>0,方>0),因为【试题来源】人教版A版选修1-1P42习题2.1A组T7.【母题评析】本题考查双曲线的定义，考查考生的简单的计算能力和逻辑推理能力.【思路方法】结合双曲线的定义解题.【试题来源】人教版A版选修1-1P61T4.【母题评析】求圆锥曲线方程问题是教材中例题和练习题都重点、高频出现的问题，也是高考常见题，大多利用待定系数法求解，本题主要借助圆锥曲线间的联系求解，主要考查对椭圆、双曲线的定义、性质的理解.【思路方法】求双曲线的标准方程先定“形”再定“参”・第74题双曲线

2、中的基本问题I.题源探究•黄金母题【例1】双曲线4%2-/+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1,那么点P到另一个焦点的距离等于.【答案】17【解析】把方程化为标准方程，得=1.V67=8,6416由双曲线定义可知，点P到两焦点距离的差的绝对值等于16,・・・P到另一个焦点的距离等于17.22【例2］求以椭圆—+=1的焦点为顶点，以椭圆的顶点85为焦点的双曲线的方程.X【解析】设双曲线的方程为2er22二+丄=1,/二8_5=3心=8,所求双曲线的方程为8522乞-丄=13811・考场精彩•真

3、题回放【例1】【2017高考天津卷】已知双曲线二—三_=1（。>0">0）的左焦点为F,离心率为血.若crtr经过F和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为44匚上489D.—【命题意图】这类题主要考查双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质等.【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据双曲线的定义求双曲线的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与双曲线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）双曲线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求

4、双曲线中距离、周长或者面积等；（4）求直线与双曲线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定双曲线中的弦长、【答案】B【解析】由题意得二©W"故选B.【例2】［2017高考北京卷】若双曲线x2-^-=1的离心率m式子的定值问题，确定与双曲线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求双曲线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）.【难点中心】1.利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解【答案】2【解析】丁

5、a1=,b2=m,=VT+m=V3-,解得m=2.a【例3】【2017高考山东卷】在平而直角坐标系xOy中，双曲线£=1@>00〉0）的右支与焦点为F的抛物线a"b~x2=2px（p>0）交于A,B两点，若AF+BF=4OFf则该双曲线的渐近线方程为.【答案】【解析】AF

6、+

7、BF

8、二九+彳+力+彳=4><彳，・・・九+九=八二二I•・•

9、方程为y=士讦x【例4】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系兀O.y中，双曲线兰_）/=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,3Q,其焦点是片，坊，则卩4边形F.PF.Q的面积是•巧设双曲线：（1）双曲线过两点可设为22mx2-ny2=l（nm>0）；（2）与二一.=1/b~共渐近线的双曲线可设为22二一・=/1（>1工0）；（3）等轴双曲线可crb=设为兀2—）,=久仇工0）等，均为待定系数法求标准方程.2.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌

10、握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.3.求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a,c,代入公式《=£；a②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的【答案】2^3齐次式，结合b2=c2~a2转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以Q或昨(5,0),骂(顶.0)，则5=2施X導=2/.（不等式）即可得£（0的取值范围）.4.双曲线的焦点到渐近线的距离是b；双曲线的顶点到渐近线的距离是®.c5.涉及直线与双曲线的位置关系的

11、问题，只要联立直线与双曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理.III.理论基础•解题原理考点一双曲线的定义在平而内到两个定点片，场的距离之差的绝对值等于常数，大于0且小于闪耳

12、的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.考点二双曲线的标准方程（1）焦点在X轴上: