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《2014选修4-5不等式选讲20140604》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学新课标选修4-5不等式选讲【知识梳理】1.两个实数大小关系的基本事实a>b⇔________;a=b⇔________;ab,那么________;如果________,那么a>b.即a>b⇔________。(2)传递性:如果a>b,b>c,那么________。(3)可加性:如果a>b,那么____________。(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么________;如果a>b,c<0,那么________。(5)乘方:如果a>b>0,那么an____bn(n∈N,n>1)。(6)开方:如果a>b>0,那么___
2、_(n∈N,n>1)。3.绝对值三角不等式(1)性质1:
3、a+b
4、≤________;(2)性质2:
5、a
6、-
7、b
8、≤________;性质3:________≤
9、a-b
10、≤________。不等式a>0a=0a<0
11、x
12、13、x14、>a4.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式15、x16、17、x18、>a的解集(2)19、ax+b20、≤c(c>0)和21、ax+b22、≥c(c>0)型不等式的解法①23、ax+b24、≤c⇔______________;②25、ax+b26、≥c⇔______________。(3)27、x-a28、+29、x-b30、≥c和31、x-a32、+33、x-b34、≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结35、合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。5.基本不等式(1)定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)定理(基本不等式):如果a,b>0,那么________,当且仅当________时,等号成立。也可以表述为:两个________的算术平均________________它们的几何平均。(3)利用基本不等式求最值:对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值,则当且仅当________时,它们的积P取得最________值;②如果它们的积P是定值,则当且仅当________时,它36、们的和S取得最________值。6.三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么________,当且仅当________时,等号成立。即三个正数的算术平均____________它们的几何平均。(2)基本不等式的推广:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均__________它们的几何平均,即________,当且仅当________________时,等号成立。7.柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立。(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数37、,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立。(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则38、α·β39、≤40、α41、42、β43、,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立。8.证明不等式的方法(1)比较法:①求差比较法:知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法:由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明________即可44、,这种方法称为求商比较法.(2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的____________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式________的假设;第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立。(5)放缩法:所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地_________45、_______,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.(6)数学归纳法:设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立。1.a-b>0 a-b=0 a-b<0;2.(1)bc (3)a+c>b+c (4)
13、x
14、>a4.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式
15、x
16、17、x18、>a的解集(2)19、ax+b20、≤c(c>0)和21、ax+b22、≥c(c>0)型不等式的解法①23、ax+b24、≤c⇔______________;②25、ax+b26、≥c⇔______________。(3)27、x-a28、+29、x-b30、≥c和31、x-a32、+33、x-b34、≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结35、合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。5.基本不等式(1)定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)定理(基本不等式):如果a,b>0,那么________,当且仅当________时,等号成立。也可以表述为:两个________的算术平均________________它们的几何平均。(3)利用基本不等式求最值:对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值,则当且仅当________时,它们的积P取得最________值;②如果它们的积P是定值,则当且仅当________时,它36、们的和S取得最________值。6.三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么________,当且仅当________时,等号成立。即三个正数的算术平均____________它们的几何平均。(2)基本不等式的推广:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均__________它们的几何平均,即________,当且仅当________________时,等号成立。7.柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立。(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数37、,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立。(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则38、α·β39、≤40、α41、42、β43、,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立。8.证明不等式的方法(1)比较法:①求差比较法:知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法:由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明________即可44、,这种方法称为求商比较法.(2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的____________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式________的假设;第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立。(5)放缩法:所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地_________45、_______,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.(6)数学归纳法:设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立。1.a-b>0 a-b=0 a-b<0;2.(1)bc (3)a+c>b+c (4)
17、x
18、>a的解集(2)
19、ax+b
20、≤c(c>0)和
21、ax+b
22、≥c(c>0)型不等式的解法①
23、ax+b
24、≤c⇔______________;②
25、ax+b
26、≥c⇔______________。(3)
27、x-a
28、+
29、x-b
30、≥c和
31、x-a
32、+
33、x-b
34、≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结
35、合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。5.基本不等式(1)定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)定理(基本不等式):如果a,b>0,那么________,当且仅当________时,等号成立。也可以表述为:两个________的算术平均________________它们的几何平均。(3)利用基本不等式求最值:对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值,则当且仅当________时,它们的积P取得最________值;②如果它们的积P是定值,则当且仅当________时,它
36、们的和S取得最________值。6.三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么________,当且仅当________时,等号成立。即三个正数的算术平均____________它们的几何平均。(2)基本不等式的推广:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均__________它们的几何平均,即________,当且仅当________________时,等号成立。7.柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立。(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数
37、,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立。(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则
38、α·β
39、≤
40、α
41、
42、β
43、,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立。8.证明不等式的方法(1)比较法:①求差比较法:知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法:由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明________即可
44、,这种方法称为求商比较法.(2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的____________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式________的假设;第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立。(5)放缩法:所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地_________
45、_______,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.(6)数学归纳法:设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立。1.a-b>0 a-b=0 a-b<0;2.(1)bc (3)a+c>b+c (4)
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