关于多元特征值问题的数值方法

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1、第二章多元特征值问题的敏度分析在统计分析中，扰动分析也被称之为敏度分析，例如，在文献【1】中给出了线性回归模型的敏度分析，而在文献[12】中给出了主成分分析方法的敏度分析。Golub和zha在[5】中利用广义奇异值分解原理给出了矩阵对之间典型相关性的敏度分析的理论结果。这一部分，我们主要给出多元特征值问题的敏度分析，首先，我们给出单特征值的概念。2．1单特征值及对应特征向量的一阶展式设入=(A1，⋯，入仇)是4的多元特征值，z=p}，⋯，z黝?为对应的特征向量，即入和z满足(1．2)。由于巧∈胂，f1巧112=1，因而有正交阵

2、轨∈R吩×唧使得Q知=【1，0，⋯，o】丁U=112，⋯，m)．记Q=阮，xjl，及AA：=X{A：=XT。·tn入l厶l一1k厶。一1‰(2．1)(2．2)注：如果某个码=1，则认为天中对应的～毛一l项及(2．1)中含玛的项不存在。首先，我If]弓l入下述定义定义2．I：如果AA一天非奇异，则称入为A的(对应划分(1．1))的一个单特征值。注：如果m=1，则多元特征值化为普通特征值，不难知道，此时定义2．1与已有单特征值的定义一致。关于多元特征值问题的数值方法本节以下设A为A的单多元特征值，z=陋}，z；⋯．，z翱T为对应的

3、特征向量。考虑A的扰动A(t)=A+tE，(2．3)这里t为实参数，E为n阶实对称矩阵。考虑A(亡)对应的多元特征值系统其中A(t)A(t)=zl(亡)z2(t)z仇(t)Al(亡)zl(亡)A2(t)z2Ct)●入仍(t)z仍(t)An(t)Al：(t)⋯A1m(t)A210)A22@)⋯A2m@)；。．iAml(￡)‰2(亡)⋯A一(t)(2．4)(2．5)m如(t)∈R唧×唧，∑唧=仃，巧(亡)∈R唧，lIxj(t)112=1，歹=1，2，⋯，m．j=l令Fcy，弘，t，=Act，[：]一∞舶归巨：：那么，(i)显见，F

4、(y，p，t)2乏G(u，p，t)都是关于芗，p，t的多项式，因而是解析函数。cn，OF，蓁]l。v，p。。，；。喾，A．。，==AAdetdet一繁z’]，(ii)瑟Il=0叫l，，6啦Jl(v，p。t)=(喾，A．0)。J关于多垂壁堑垡间壁塑墼笪立鎏一一其中B(z)=注意其中．1l∈舯xm．‰lJdet[三二声一0z’]=c一1，m·detr1．AB扛-，ATkA碾l1．B(z)?klJQTB(x)0P[eil)fQ。B(z)1I‘．oJl【Q仇．1klJ其中Q=【Ql·．Qm]．e肿I中*⋯乩夸一，m．(2．6)(2．7

5、)现l；．，●r．●●●●●J、I，@0Br1Q且rIII●一一并1●●●●●●●Jk0O2‰姚o‰峨kP．．。．．．．．．。．．．．．．．L=1Il_IlJ0kP07QP．。。．．．．．．。．L1●●●●●JpO8A广一@ABP．．．．．．．．．．．．L1●●●●●J0krQOP么r●●L墨秀关于多元特征值问题的数值方法其中笼]=孵c4叫酽，尬2呐矗由此可得aet[A-#一矧-det(Aa-／k川．应用隐函数定理，有下述定理2．1：对于给定的实对称矩阵E，存在正数6>0，使得㈦<6时有唯一的解析函数砟，=㈤刚归㈦ACt)xC

6、t)=I：I，lI=At)112=1，歹=l，2，⋯m，(2．8)z0)=z+圣(0)￡+oct2)，act)=A+又(o)t+O(t2)．(2．9)为了寻求z(亡)的一阶导数圣(o)及A(t)的一阶导数A(o)，对(2．8)两端关于t求导，然占k+A窟c。，=[二：三；二二]+[入l厶l··．入mLh]圣c。，．c2．1。，(2．10)与(2．11)合并写为(2．12)r_●●●●●JZEO一---_。-_。--_．L=1●●●1．、l，、JO．Z．入广●●●●L8r_●●●●●J、l，Z取。一A尸一pAB——．．．．．．．

7、．．．．．．．．．．．．．．L一一苤量墨重壁堑堕闷墼箜墼垡塑鲨一由AA一天的非奇异性易知[三三#一等动]非奇异，从而有计算可知这里矧=瞄一科1弦E]-仁捌[MllM12／，'n]～=雌卦磊2：一尬2A尝，z21=耀，五l=尬2Af暑M墨一Mn．(2·14)m(2．12)，有定理2．2：函数A(亡)及z(t)有下述一阶展开式其中z(t)：z+壬(o)亡+D(铲)，入@)=A+又(o)t+o(t2)，[妻{昌]=[QT。P三][j蔓!曼曼。][PQT⋯EXo。]_m2．2条件数根据Rice【13】的想法，多元特征值及对应的特征向量

8、的条件数可定义为定义2．2：多元特征值A及对应的特征向量z的条件数分别定义为K(入)=l㈣im阮sups；{紫)，9(2．15)E玢r．EQpRⅪ1¨_1Po％犯。嵫％，c(z)=l㈣im耶supf{警>，这里，al，Q2，∈为正参数，其适当选择可以带来方便。例如：·取0f1