基于主成分分析和灰色关联聚类分析的指标综合方法研究

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1、万方数据第13卷专辑2005年10月中国管理科学ChineseJournalofManagementScienceV01．13，SpecialIssueOctober，2005文章编号：1003—207(2005)zk一0018一05基于主成分分析和灰色关联聚类分析的指标综合方法研究孙晓东，胡劲松，焦胡(青岛大学管理科学与工程系，山东青岛266071)摘要：在进行多指标分析和评价的过程中，首先对指标进行灰色关联聚类分析，将指标分成若干可以定义的类，每个聚类代表同一类指标；其次对每个聚类进行主成分分析，提取主成分，获得该类指标的主成分集合；最后基于权重思想综合所有聚类的主成分

2、集合，形成既反映全体指标信息又体现指标聚类差异性的综合指标。通过一个算例说明该方法计算方便，客观合理。关键词：灰色关联聚类分析；绝对关联度；主成分分析中图分类号：F272文献标识码：A1引言在多指标综合评价或分析的过程中，往往会遇到这样的矛盾：一是指标多，带来计算和分析上的不便，而且浪费大量存储空间和消耗过多机器处理时间；二是多指标间的相关性，造成指标提供的整体信息发生重叠，不易得出简明的规律。为了解决这方面的问题，Hotelling在1933年提出了主成分分析(PCA)方法。该方法是利用降维的思想将多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析。然而，主成分分析方法基于数据全

3、体，在对全体指标笼统综合的同时忽视了指标之间的类别性差异问题，也就是是否有若干个指标关系十分密切而同属一类。事实上，指标之间不仅仅具有相关性，也具有类别性。显然，对同类指标进行主成分分析比对全体指标进行主成分分析更易于解释，更具合理性和客观性。为此，解决这一问题的思路便是，首先对指标进行聚类分析，将指标聚集成几个可以定义的类；其次对每一个聚类进行主成分分析，得到每类指标的主成分集合，并对集合中的元素进行综合；最后基于每类的权重，综合所有指标聚类形成反映全体指标信息的综合指标。基于灰色系统分析所需原始数据少、原理简单、运算方便、易于挖掘数据规律等优点，本文提出了一种主成分分析

4、和灰色关联聚类分析相结合的指标综合方法。2基于主成分分析和灰色关联聚类分析的指标综合方法2．1指标的主成分分析主成分分析¨。o(PrincipalComponentsAnaly—sis)也称为主分量分析，是利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。主成分分析研究的目的就是如何将多指标进行最佳综合简化，最终转化为较少的综合指标。也就是说，要在力保数据丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理。主成分分析的基本方法是通过构造原指标的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新综合指标，从中选出少数几个新指标并使它们含有尽可能多的原指标集合带有的信息，从而使

5、得用这几个新指标代替原指标分析问题和解决问题成为可能。综合指标是原来多个指标的线性组合，虽然这些线性综合指标不能直接观测到，但综合指标问相互不相关，又能反映多个指标的信息。如果原指标为艽。，戈：，⋯，并。，主成分分析后得到的新指标儿，扎，⋯，扎均是菇，，石：，⋯，省。的线性组合(p≥m)：收稿日期：2005—06—07基金项目：国家自然科学基金(70371024)；山东省自然科学基金(Y2003H01)作者简介：孙晓东(1979一)，男(汉族)，山东安丘人，青岛大学管理科学与工程系硕士研究生，研究方向：系统优化、决策分析、物流工程其中Yl=ull菇l+u12戈2+⋯+Mlm

6、石m)，22“2l戈l+u22X2+⋯+2mxm或写成l，：Ury％=upl戈l+Up2+⋯+UpmXm万方数据专辑孙晓东等：基于主成分分析和灰色关联聚类分析的指标综合方法研究U=UllU21U12／／'22U1m／Z2m=(阢，％，⋯，虬)×=酲xY．，Y：，⋯，Y。称为主成分，其中Y。为第一主成分，Y：为第二主成分，依此类推。主成分分析的任务就是求出系数矩阵u，找到戈。，戈：，．⋯，戈。的线性组合来表示各主成分。其具体计算步骤为(1)指标数据的标准化分析或评价中确定的各个指标，都有不同的量纲、不同的数量级，而不同量纲、不同数量级的数据不能放在一起直接进行比较，也不能直接

7、用于多元统计分析，需要对指标的数值进行标准化处理，以消除其量纲、数量级上的差异，使其具有可比性。指标数值的标准化处理通常采用数据变换处理，主要有中心变换、规格化变换、标准化变换、对数变换等，而最为常用的方法则是标准化变换：茁一Z菇：=——三兰=兰i=1，2，⋯，n；J=1，2，⋯，m。4var(戈J)其中，戈，和~／var(戈，)分别为第，个指标的均值和标准差，得到标准化数据矩阵X；=(xi：，x：，x：，⋯，x二)1，i=1，2，⋯，n(2)计算x的相关矩阵R以及尺的特征根设为Al≥A2≥⋯≥A。≥0相应的正交标