2011届高考数学探究性试题汇编019

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1、高中数学探究性试题汇编（四）课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学

2、习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。31．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线：交于、两点.（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）解：由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，故点的轨迹方程是：即…………….2分由∴∴∴故⊥.……………………………………6分2）解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点由题意知：弦所在的直线的斜率不为零………………

3、…………………7分故设弦所在的直线方程为：代入得∴∴故以为直径的圆都过原点…………………………..10分设弦的中点为则∴弦的中点的轨迹方程为：消去得.……………………14分32．设函数R.（I）求函数的最值；（Ⅱ）给出定理：如果函数在区间[]上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.解：（I）令……………………2分①由①知f（x）无最大值.……………………6分（Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续.上递增.……………………8分由……………………10分又根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.………………

4、……12分33．已知数列{an}有a1=a，a2=p(常数p>0)，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足。(1)求a的值；(2)试确定数列{an}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；(3)对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn

5、问:是否存在自然数m和M,使得不等式恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得即.令,则令,则令,则……(3分)设等差数列的公差为d,则……(5分)∴.……(6分)(2)由(1)知:.n为奇数时,……(7分)∴…………①…………②……(9分)由①－②得:∴……(10分)设,∵∴随n的增加而减小.又随n的增大而减小,∴为n的增函数.……(12分)当时,,而∴……(13分)由此易知:使恒成立的m的最大值为0,M的最小值为2,M－m的最小值为2.……(14分)35．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列

6、的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝（n∈N*），Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2，………………………2分整理得2a1d＝d2．∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2．…………………………………………4分∴an＝2n－1（n∈N*）．……………………………………………………6分（Ⅱ）bn＝＝＝（－），∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］＝（1－）＝．……………………………

7、………10分假设存在整数t满足Sn＞总成立.又Sn+1－Sn＝－＝＞0，∴数列{Sn}是单调递增的．………………………………………………12分∴S1＝为Sn的最小值，故＜，即t＜9．又∵t∈N*，∴适合条件的t的最大值为8．…………………………………………14分36已知数列满足：，，≥．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式＜成立的所有正整数、的值．解（Ⅰ）由2an+1=3an－an－1（n≥2），得2（an+1－an）=an－an－1，∴，因此数列{an－an－1}是以a2－a1=1为首