数据结构与算法实训

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1、《数据结构与算法》实训哈夫曼编／译码器一、问题描述哈夫曼树又称最优二叉树，它是一类带权路径长度最短的树，有着广泛的应用，如JPEG中就应用了哈夫曼编码。在给出哈夫曼树的定义之前，首先给出路径和路径长度的概念。从树中的一个节点到另一个节点之间的分支构成这两个节点之间的路径，路径上的分支数目称为路径长度。树的路径长度是从树根到树中每一节点的路径长度之和。根据树的路径长度，可知在节点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。在树中还可以为树的节点添加权形成带权二叉树。在一些应用中，这些权值可以是一个具有某种意义的实数。对于带权二叉树，定义节点的带权路径长度为节点到树根之间的路径长度与该

2、节点权值的乘积。树的带权路径长度(weightedpathlengthoftree)为树中所有叶子节点的带权路径长度之和，记为：其中，n表示叶子节点的数目；wi和li分别表示叶子节点ki的权值和根到节点岛之间的路径长度。树的带权路径长度也称为树的代价。所谓最优二叉树是指带权路径长度最小的二叉树，下图给出了3种不同路径长度的带权二叉树。具有不同带权路径长度的二叉树由此可知，图(c)所示的树的WPL最小，它就是一棵最优二叉树，即哈夫曼树。可以看出，对于最优二叉树，权值越大的节点越接近树的根节点，权值越小的节点越远离树的根节点。根据这一特点，可以得到最优二叉树的构造算法的步骤如下：l根据给

3、定的n个权值（w1，w2，....，wn）构成n棵二叉树的集合（即森林）F=（T1，T2，...，Tn），其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根节点，其左、右子树均为空。l在F中选取两棵根节点的权值最小的树作为左右子树构成一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根节点的权值为其左、右子树上根节点的权值之和。l在F中删除这两棵树，同时将得到的二叉树加入F中。l重复第一步和第二步，直到F只有一棵树为止，这棵树则为哈夫曼树。上面给出的最优二叉树的构造算法，是由哈夫曼在20世纪50年代提出来的，为了纪念哈夫曼，因此又将最优二叉树称为哈夫曼树。在构造哈夫曼树的过程中常会遇到这样的情况，根节点权值最

4、小的树不止两棵。对于这种情况，只要任选两棵即可。选出的两棵树谁做新节点的左孩子或右孩子均可。从上例所示的构造过程可以看出，经过一次合并，森林中就少一棵树，具有n棵树的森林，经过n-1次合并才能得到一棵哈夫曼树，并且每次合并时都会产生一个新节点，一共会产生n-1个新节点。因此，得到的哈夫曼树具有2n-1个节点，并且，所得到的哈夫曼树中没有度为1的节点。根据这一特点，可以采用一个大小为2n-1的一维数组来存储哈夫曼树，并且为了便于查找节点的左孩子、右孩子和双亲节点。值得一提的是，parent域有助于找到某节点的双亲节点。在构造哈大曼树时，需要选取的是权值最小的根节点。一个节点为根节点，则

5、parent的值为-1。在后面将讲到的哈夫曼编码中也起到了很大的作用。哈夫曼编码是采用哈夫曼树实现的一种编码方式。编码是数据压缩的过程，即将文件中的每个字符均转换为一个唯一的二进制位串。与编码相对应的就是解码，解码是数据解压的过程，即将二进制位串转换为其对应的字符。在信息社会中，有效的编码技术可以节省数据文件在计算机内的存储空间和提高信息的传输速度，如何采用有效的编码方法是现在信息学研究的一个重点。编码主要有两种方式：等长编码和变长编码。等长编码是最简单的编码方式。例如，要对A、B、C、D、E、F、G这7个字符进行编码，可以将这7个字符作为树的节点，生成一棵完全二叉树，规定在完全二叉

6、树中，每个分支的左节点、右节点分别用0、1编码。这样，这7个字符就需要3位二进制进行编码。例如，A对应的编码为000，D对应的编码为011。那么，对于一个由这7个字符组成的共有100000个字符组成的数据文件，采用等长的方式进行编码，得到的整个文件的长度为300000。然而，在实际通信中，这7个字符出现的频率不一样。据统计，在英文中，E的出现概率很高，Z出现的概率最低。根据这一特点，人们提出了变长编码。变长编码方法完全依据字符出现的概率来构造平均长度最短的编码。这种编码方法让出现频率较高的字符具有较短的编码，让出现频率较低的字符具有较长的编码，这样就可以有效地缩短电文的长度。但是这种

7、编码方式会出现译码的二义性(又称为多义性)。例如，E的使用频率较高，对应的译码为1，D使用的频率次之，对应的译码为10，A使用的频率又次之，对应的译码为110。假设接到的编码串为“110'’，是翻译成“ED”，还是“A”呢?这样就产生了译码的二义性。为了避免译码的二义性，人们规定，对某一字符集进行不等长编码时，任一个字符的编码都不能是其他字符编码的前缀。在上例中，E就是D和A的前缀。哈夫曼编码就是一种不等长编码，其定义如下。对于给定的字符集D={d1，d2