应用统计-卡方检验与方差分析

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1、第七章：卡方检验与方差分析卡方检验【非参数统计】对总体的具体形式不必作任何的限制性假设和不以总体参数具体数值估计为目的的推断统计。能用于定性变量（即定名测定和序列测定的变量）；方法直观，易于理解，运算比较简单。缺点是检验的功效不如参数检验方法。主要方法：χ2检验、曼—惠特尼U检验、等级相关检验、成对比较检验、游程检验、多个样本的检验。2检验2检验是运用2分布作为理论工具，在非参数统计中可用于对总体的分布或随机变量的独立性进行的检验。2检验是1900年由英国统计学家卡•皮尔生(K.Person)提出的，称为皮尔生定理。当我们研究K(K>2)个事件时，可以测定K个观察值与相应的理论值之

2、间的差异，为此而构造的统计量称为2统计量。2检验且服从分布皮尔生定理说明，当样本容量充分大时，样本分成K类，每类实际出现的次数用f0表示，其理论次数为fe，则2统计量为（f0-fe）比较小时，χ2值也较小；（f0-fe）比较大时，χ2也较大。当χ2值大到按χ2分布超过设定的临界值时，即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设不一致。(χ2)k=4α=0.05χ20.05(4)=9.488χ202检验2分布(2distribution)由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来

3、分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称，一般当k≥30时，χ2分布可用正态分布近似计算c2分布(图示)不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20c2分布的使用2检验的功效拟合优度检验利用样本信息对总体分布作出推断，检验总体是否服从理论分布（正态分布或二项分布）。独立性检验用于判断2组或多组的资料是否彼此关联。2拟合优度检验拟合优度检验主要是比较总体变量的期望或理论频数与分布的观察或实际的频数，确定期望值与观察值之间是否存在差异。例如，航空业官员也许在理论上认为机票购买者的年龄服从某种特殊的分布。为了接受或

4、拒绝该分布，随机选取机票购买者年龄的真实样本，使用拟合优度检验比较观察值与期望值。在皮鞋制造业，生产商可以使用拟合优度检验确定一年当中对其商品的需求是否服从均匀分布。拟合优度检验中用来对假设进行检验的检验统计量的形式如下：其中：观察值频数；：期望值频数；k:类别总数；c：样本数据中的参数数量。因为期望频数的总数必须等于观察频数的总数，因此该检验丢失了一个自由度，即来自样本的的观察总数被作为期望频数总数的总数。另外，在有些情况下，总体有参数。用样本数据估计，以确定期望值的概率分布。每次进行估计，就丢失一个自由度。2拟合优度检验拟合优度检验的步骤检验步骤（1）对总体分布建立假设H0：总体服从

5、某种理论分布H1：总体不服从该理论分布（2）抽样并对样本资料编成频数分布（f0）（3）以“原假设H0为真”导出一组期望频数（fe）（4）计算检验统计量χ2=∑(f0-fe)2/fe（5）χ2=∑(f0-fe)2/fe给定的α查χ2表，得到临界值（6）比较χ2值与临界值作出检验判断注意事项（1）各组理论频数fe不得小于5，如不足5，可合并组；（2）为使组数不致太少，总频数n＞50；（3）根据具体情况确定自由度。2拟合优度检验（例题分析）【例1】有四家生产同种类型的产品在过去的一年里，市场份额稳定在A公司47％，B公司34％，Ｃ公司11%,D公司8%.最近各家公司都开发了各自“新型和改进型”

6、的产品代替当前在市场的产品。因此A公司市场营销部门想知道这种新产品是否改变了市场份额。于是聘请了一家专门搞市场份额评估的公司。该评估公司组织进行一个抽样调查：随机选择了该城市各大超市购物的207个消费者，以了解他们会选择哪种产品。结果选用A、B、C、D公司产品的消费者比例如下：从抽样结果判断市场份额有没有发生变化？2拟合优度检验（例题1分析）步骤一：建立如下假设：即各公司的市场份额没有发生变化即各公司的市场份额发生了变化步骤二：使用的检验统计量2拟合优度检验（例题1分析）步骤三：取。由于拟合优度检验是单边检验，因为零的表明分布是一致的。与零的任何偏差都是正的，这是因为是由平方和确定的，

7、永远不会是负值。在此题中，由于k＝4，所以k-1=3，即自由度为3，在的条件下，临界值为决策规则：如果计算得到的样本检验统计量的值大于7.815，则拒绝原假设。步骤四：由样本计算样本检验统计量的值，分以下几步完成：（1）计算期望值（理论频数，见表）表：公司份额期望频数的计算公司期望比例期望频数（）A47％(0.47)(207)=97.29B34％(0.34)(207)=70.38C11％(0.11)(207)=22.77