电影院座位设计资料

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1、公选课《数学建模》论文——******问题学号：姓名：学号：姓名：学号：姓名：年月日1问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过.设影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D,观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）.已知参数h=1.8，H=5，d=4.5，D=19，c=1.1（单位：m）.(如图所示)(1)地板线倾角θ＝，问最佳座位在什么地方

2、.(2)求地板线倾角θ（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大.(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度.2模型的假设2．1在小于的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同.2．2观众的满意度只取决于仰角β和视角α，与其他因素无关.2．3同一排座位，观众的满意程度相同.3符号约定:观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角）（单位：度）:观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角）（单位：度）:地板线倾角（单位：度）:影院屏幕高（单位：m）:上边缘距地面高（单位：m）:第一排座位与屏幕水平距离（单位：m）:最后一排座位与屏幕水平距离（单位：m）第10

3、页共10页:观众平均坐高（指眼睛到地面的距离）（单位：m）L:相邻两排座位间的间距（单位：m）l:相邻两排座位间的水平间距（单位：m）n:座位的总排数4模型的建立4.1最佳座位（地板线倾角θ＝）设屏幕所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，在图上建立直角坐标系，如图1所示：oxy图1仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，设某一观众的眼睛的坐标为（x,y），则有：（）……(1)（）……(2)由公式可得：……(3)将（1）、（2）式代入式（3），得：（）……(4)第10页共10页又（）……(5)有：……(6)作出仰角β和视角α沿着x轴

4、的变化曲线，如图2、图3所示：(单位:度)X(单位:米)图2(单位:度)X(单位:米)图3由图2、图3可见，沿着x轴，仰角β和视角α都是单调递减的.视角α越大越好，即座位越往前越好，然而仰角β太大（座位过于靠前）使人的头部过分上仰，会引起不舒适感.要考虑观众的满意程度就必须要同时考虑α与β的取值，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大.然而α与β第10页共10页又存在一定的矛盾，要使α大，β也跟着大，β小α又跟着小，难以同时满足，但在小于的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同，此时可以只考虑α的取值.综合以上的分析可得问题一的

5、求解模型为：由（6）式知道，、两个函数都是角度，数值上有良好的可比性，可以简单地取其加权和作为单一目标函数.题目中没有关于优先权及权重的规定，可以设的权重为，的权重为，这里.这样便有：max……(*)s.t.这里主观设＝0.7，把（6）式代入（*）式，并进行化简，代入已知参数h=1.8、H=5、d=4.5、c=1.1、，用数学软件Maple8.0求解得，最佳座位约在点（6.23,1.4）处，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为6.23米，此处的仰角，视角.4.2使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角值（一般不超过）设第i排观众的满意度为，则所有观众的平均满意程度，可见，平均满意度S

6、的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角β和视角α所决定，所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：（1）仰角不超过的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大.（2）所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大.地板线倾角θ（）的改变将同时使所有座位的仰角和视角第10页共10页的大小发生改变，由（6）式可知，在某一座位（即x取某一定值），在（）逐渐增大的过程中，增大，则减小，仰角不超过的区域扩大，即地板线倾角θ（）越大，仰角不超过的座位所占的比例越大，由（1）、（5）式可得，时x与的关系：……（7）查阅相关资料可知，相邻两排座位间的间距一般为0.8m，随着地板

7、线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变.地板线图4由图4可看出，相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角θ的关系为，座位的总排数，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，用数学软件MATLAB6.5编程求出使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角值（）.（具体程序见附录）算法设计思想：（1）让地板线倾角θ在内逐一取值，步长为0.01;（2）让x在[4.5,19]内逐一取值，步长为；（3）对一个取定的θ，判断x所在的位置仰角是否超过，若仰角