评梅晓春黎曼几何有重大缺陷-欧阳合

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1、黎曼几何有重大缺陷？评梅晓春和俞平的关于“黎曼几何有重大缺陷”的论文欧阳合*王文涛†2016年4月1黎曼几何的缘起数学王子高斯被称为是18~19世纪最伟大的数学家，高斯在古典微分几何中作出过伟大的贡献，他也是非欧几何的三个发明者之一[2]。高斯有个学生叫黎曼，黎曼想要在哥廷根教书，就必须向学术委员会提交三个主题，并由委员会决定其中之一，来实施演讲。黎曼的博士课题是傅利叶分析，他业余时候也研究过导师高斯的几何学，并有一些想法。没想到的是，以高斯为代表的委员会决定让黎曼讲一下他的“新几何学”，黎曼几何由此诞生了[1]。黎曼将高斯的几何一般化到了n维流形，定义了一般的黎曼度量(度规)，黎曼协

2、变导数，曲率张量，等等。高斯是个无比骄傲和无比严格的人.。听说他的论文从未出过错，甚至于手稿都没有错误，人称踏雪无痕的狐狸。*昆山杰得微电子有限公司†国防科技大学计算机学院1然而高斯对黎曼的演讲赞叹不已！当时这一切都不过是在那个安静古老的哥廷根发生的，属于纯粹数学、纯粹思维王国的故事，如果不是后来发生的事—爱因斯坦的广义相对论—也许高斯和黎曼师徒故事无非像哥廷根古老的中世纪教堂中的钟一样，响一声之后，归于静寂。人们大众也不会知道关于他们的任何事情，顶多是后来的徒子徒孙们，比如卡当、陈省身等人，默默地发展后来的理论。狭义相对论和广义相对论的诞生是人类智慧伟大革命。狭义相对论也许有多个发明

3、者:Einstein，Poincaré，Minkowski等，但是广义相对论无疑是从Einstein脑袋里诞生的。从诞生日起，两个相对论就一直受到质疑。简言之，狭相=光速不变+不能超光速；广相=引力就是曲率+曲率满足Einstein方程。广相的数学基础正是这里要讨论的黎曼几何。很多人在质疑Einstein，我们是头一次听到有人在质疑黎曼几何和高斯几何。这就引起我们要来考察一番黎曼－高斯几何的兴趣了。粗略来说，欧氏空间=Pythagoras定理+Descartes坐标法+Gibbs的向量运算。简言之，‘‘E=V+D+P=(V;+;
s;g)”;其中
s表示数乘，g:V!R是一个二次型，即

4、对于x2V;a2R有2g(ax)=ag(x);则g会引出一个“内积”张量：1g(x;y)=(g(x+y)g(x)g(y)):22(V;g)成为我们研究几何的基础。注意这里我们用同样的符号g既表示二次型又表示与之相对应的对称双线性形式，就像C++的约定一样。所谓黎曼流形就是一个微分流形M，加上一个定义在其上的2阶协变正定张量场g>0，使得我们可以把平直的欧几里德几何推广到非线性的几何体。研究黎曼流形的分支就是黎曼几何学。黎曼的天才之处，就是把(正定)二次型的欧氏空间理论搬到了切空间上来做。当然那时候还必须具备下列条件：微积分的理论，流形的理论(已由欧拉创立)，Gauss-Bolyai

5、-Lobachevsky的非欧几何学，再加上黎曼的导师大神高斯的强烈兴趣。因此，我们可以画一张黎曼几何的缘起图示：BC500-600cbc2=a2+b2PythagorasaPlato,EuclidDescartes,Gauss,Frenet,Euler,Newton,GibbsBoyal,LobachevskyLeibnitzNewton,Cartan,S.S.Chern,Steenrod,RiemannMaxwellFiberbundle,ChartEinsteinC.N.Yang3早在三千年前，中华文明，巴比伦文明，埃及文明和印度文明几乎都发现了如今被称为“毕达哥拉斯定理”的数学

6、公式222a+b=c;其中a;b;c构成一个直角三角形，c为斜边。但听说只有公元前600年前的Pythagoras第一个给出了完整的数学证明。Pythagoras自称哲学家，后来他被认为是世界上第一个哲学家和现代意义下的数学家。这个公式后来有了四百多种不同的证明，成了历史上最多被证明的公式定理。在这些证明中，有的属于后面某位美国总统，还有一个证明是属于12岁的Einstein的(可见Einstein并不是标题党们常说的那么“傻”)[6]。Pythagoras之后，就有了Plato，有了西方哲学，也有了Euclid的几何原本，因此有了纯粹基于逻辑思维的抽象数学。Pythagoras-Pl

7、ato-Aristotle-Euclid这条智慧链条形成后，西方人开始了寻找事物－现象的共性的思维方式，我们现在称之为抽象的能力即源于此。不仅如此，Aristotle的逻辑学和范畴论(实际上应称为本体论ontology)，人们还乐于在抽象之后进行推理思考，甚至脱离现实地进行纯粹的理性思维。黎曼的思想深受哲学影响，并且要理解黎曼几何也需要一定的哲学思维，但这里我们不深入讨论哲学。为了后面叙述的方便，我们这里先解释一些基本的概念和事实。更详细的内容