初中数学竞赛辅导资料（16）

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2、蚀膃腿蝿螂羆蒈蝿袄膂莄螈羇羄芀螇蚆膀芆螆衿肃薅螅羁芈蒁螄肃肁莆螃螃芆节莀袅聿膈葿羈芅蒇蒈蚇肈莃蒇衿芃荿蒇羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃羈膂节薂蚈羅膈薁螀膁蒆薁羃羄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇芇膀薇罿肀葿薆虿芆莅蚅螁肈芁蚅袄芄膇蚄肆肇薅蚃螅羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃蚀蚀膃腿蝿螂羆蒈蝿袄膂莄螈羇羄芀螇蚆膀芆螆衿肃薅螅羁芈蒁初中数学竞赛辅导资料（16）整数的一种分类甲内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A除以m的余数。即：在整数集合中　　被除数＝除数×商＋余数(0

3、≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1　（∵－1＝5（－1）＋4。　　－9＝5（－2）＋1。）2．显然，整数除以正整数m,它的余数只有m种。例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝　（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。m=5时

4、，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，　　其中5k－2表示除以5余3。4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2　　（余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3　　（余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4　　（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们

5、的和除以3必余2。　②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：∵17除以5余2∴176除以5的余数是4（26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。乙例题例1.今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m=7,求99除以7的余数41解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，∴99天后是星期一。又解：设｛A｝表示

6、A除以7的余数，｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1例2.设n为正整数，求43n+1除以9的余数。分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式解：43n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1∴43n+1除以9的余数是4。例3.求证三个连续整数的立方和是9的倍数解：设三个连续整数为n－1,n,n+1M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)把整数n按模3，分为三类讨论。当n=3k（k为整数，下同）时，M＝3×

7、3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)当n=3k+1时，　M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1)(3k2+2k+1)当n=3k+2时，　M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝9(3k+2)(3k2+4k+2)∴对任意整数n，M都是9的倍数。例4.求证：方程x2－3y2=17没有整数解证明：设整数x按模3分类讨论，①当x＝3k时，　　　（3k）2－3y2=17,　　3(3k2－y2)=1

8、7⑵当x=3k±1时，　　（3k±1）2－3y2=173(3k2±2k－y2)=16由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，　∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解例5.求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除证明：把n按模5分类讨论，当n=5k时