chapter 3 流体运动的基本方程组

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1、袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒇虿薀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肄芈莇蚇芆肀螅蚇羆莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂蚈螂肄膅薄螁膇莁蒀螁袆膄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒇虿薀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肄芈莇蚇芆肀螅蚇羆莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂蚈螂肄膅薄螁膇莁蒀螁袆膄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁

2、蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒇虿薀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肄芈莇蚇芆肀螅蚇羆莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂蚈螂肄膅薄螁膇莁蒀螁袆膄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇Chapter3流体运动的基本方程组本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。§3.1系统和控制体系统（）指给定流体质点组

3、成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。控制体（）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（）。控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。物质体元即流体微团。物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。物质线元可

4、以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。时间线就是物质线。（三者如同面团、薄饼和面条）§3.2雷诺输运定理设代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），时刻某流体团（即系统）占据空间，取该空间为控制体。时刻该流体团的总为。（3-1）此也是时刻控制体内的总。设时刻（）该系统运动到如图所示位置，占据空间，此时系统的总为。（3-2）该系统总的随体导数。（3-3）将空间分

5、为与空间重合的部分和其余部分，空间去除后剩余部分记为，于是，（3-4）进而，（3-5）可得，（3-6）16其中第一项。（3-7）注意到是时间内从控制体内经由其右半控制面（和的公共表面）流出的，因而有（3-8）记控制体的左半控制面记为，和的公共表面为，法向如图。内的总在时间内经由流入空间，因而有。（3-9）控制体内总的增加率等于其控制面上通量的负值，即。（3-10）由于等号左边体积分（比等号右边面积分低一阶，忽略后可得，（3-11）于是.（3-12）将式（3-7）、（3-8）和（3-12）一起代入式（3-6），

6、得到，（3-13）或表示为。（3-14）对于矢量物理量，同样有。（3-15）方程（3-14）和（3-15即Reynold输运方程，其物理意义：系统在时刻总的变化率=该时刻系统所占控制体内总随时间的变化率（局地导数）+该时刻通过控制面的通量例3.1（1）若，则系统动能在时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内动能随时间的变化率+该时刻通过控制面的动能通量=作用在系统上的外力的功率16（2）若则系统质量在时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内质量随时间的变化率+该时刻通过控制面的质量通量因为系统质量不变，所以有控制体内

7、质量随时间的变化率+控制面上的质量通量=0（3）若则系统动量在时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内总动量随时间的变化率（局地导数）+该时刻通过控制面的动量通量=系统所受合外力式（3-8）和（3-12）也可通过如下的考虑得到。如图所示，控制体表面上的物质面元经时间后移动到，对应的微小流体柱经由进入空间，于是空间可以看成由空间上的各面元对应的微小流体柱组成，因此有式（3-12）。同理可以分析得到式（3-8）。附：雷诺输运方程的严格数学导出§3.3质量连续性方程质量守恒假设认为系统的质量恒定不变。对于很多流动问题，

8、分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计，质量守恒假设是良好的近似。在此假设下，对系统有。设时刻该系统所占控制体为，对应控制面，根据雷诺输运定理，有。（3-16）此即质量连续性方程的积分形式。由奥高公式得，（3-17）16于是有。（3-18）考虑到的任意性，应有，（3-19）即（3-20）此即质量守恒方程的微分形式各项意义分析：1）——流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质流