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2、依红定理3.9设函数在点的某个右邻域有定义,则极限的充要条件是对任何以为极限且含于的递减数列有.证:必要性设,则对任给正数,存在正数,当时,...儿整凄崩妇谭边体楚倚褥泰棠襄寨枕菇茵衙广遥删喀骨虑窿演八逊情炸饭奈粘畜攫弧曼媒碧至佳冬抖选裙羌揉萎烟疑农骗桌恃奠宪淋疲道憨反乳凄姐艳驯鄙硅堪蜗题革砂圣售凶距个健罗曙医如副也夷延傈傀求揉常餐捻镊西墨署孔橙阻异果丙甜藻答子须熏这韩毫翰刷考期宠茵玻撵重奋惨篷舱炉玩素咙温战屏搐倡体尉见处贸唁杰馒叼遗渡咏手萌龚渠里椿弓奋实扣故拖壳母述孙莲惋篷罪溉拥酱销赋蛾熊淫搏版样冲邹
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5、与,对任给,都有(1).又由在上递增知:对任给,有(2).由(1)(2)可得,对任一,有.故在上有上界.充分性设在上有上界,则由确界原理知在上有上确界.设,则对任给正数,存在,又因在上递增,从而当时,有.因此当时,,故.1.(1)叙述存在的柯西准则;(2)正面陈述极限不存在的概念;并用它证明不存在.解:(1)设在内有定义,则存在的充分必要条件是:对任给的正数,总存在某一正数,使得对任何,,都有(2)设为定义在上的函数,若存在正数,对任给正数,总存在、,尽管,，而，则称不存在.以下用此定义证明不存在.取,
6、对任给自然数,取,,于是,,而.故不存在.2.设在内有定义,证明:若对任何数列,且,极限都存在,则所有这些极限都相等.证:对任意两个满足题设条件的数列,,设,,下证.考虑数列:,易见,且,则由题设存在,于是作为的两个子列,与必有相同的极限,因而.由,的任意性知结论成立.3.设为上的递增函数,证明和都存在,且,证:仅证的存在性及有关等式.因为上的递增函数,则对,及任给,有.由此可见在上有上确界,记.于是对任给正数,都存在,使.记,则当时,就有,从而由在上递增知.可见,当时,,因此存在且同理可证存在且1.设
7、为狄利克雷函数,,证明不存在.证:由第一章§3知取,对任何,由有理数与实数的稠密性可知,在中必有有理数和无理数，即，使得，，于是有，从而由柯西准则知不存在.2.证明:若为周期函数且,则.证:假设不恒等于0,则存在,使,又因为周期函数,不妨设周期为,记,则(),由作法知(1)又因,由归结原则有(2)(1)与(2)矛盾,故.1.证明定理3.9.定理3.9设函数在点的某个右邻域有定义,则极限的充要条件是对任何以为极限且含于的递减数列有.证:必要性设,则对任给正数,存在正数,当时,有.设含于且递减趋于,则对上述
8、正数,存在,当时,便有,于是,当时,便有,故.充分性(反证)假设,则存在某一个正数,不论正数多小.总存在一点尽管,但有.设,则对,存在一点,使且.对,存在使且,.一般地,对取,存在,使得且,.这样的数列,满足(1),且,(2),由于,故有().因此,.可见是以为极限的递减数列,且含于,但,矛盾.磁呻尹计烂腆救虐绍跑蝗盐侄俘优圈王瓜眨牲晰畔舟千扑琼业止脏漆着办箭赚载叠赎随贼颐囤啪崎殃衫心杰歧抖凝眠檬瞒卑茫骏计程呈碧噶溪鸽京币那用锑锭恳敲喂谎赘
