多一度探究 多一份精彩

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1、多一度探究多一份精彩1．试题与答案回放：题目：（盐城中考第２７题）（１）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=°；图3图1图2（２）问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（３）拓

2、展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．　解：（1）AD（或A′D），90．（2）易证Rt△ABG≌Rt△EAP（ASA），得出EP=AG；同样由Rt△ACG≌Rt△FAQ，得出FQ=AG．从而得出结论：EP=FQ.（3）结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q（如图5）.易证△ABG∽△EAP，得=.同理△ACG∽△FAQ，得=.因为AB=kAE，AC=kAF，所以==k，则

3、=.所以EP=FQ.由∠EHP=∠FHQ，所以Rt△EPH≌Rt△FQH.即HE=HF．图52、试题特点这是一道探究性中考试题，这类题目往往给出某种数学情境，要求考生在实验、观察、归纳、类比、探究等活动中，构建数学模型，领会数学方法，进而解决具体问题．这类试题6一般都非常规，不是课本内容的简单模仿，也不是通过反复演练就能完成的，需要更多的灵活性和创造性，能较全面地考察学生的思维能力和数学素养．因此探究性综合试题在近年中考中层出不穷，并已成为中考的热点．本题在问题设计上层层深入，题中三个问题前为后所用，联系密切又有一定梯度．第一问是从图形变化入手，通过剪拼矩形，旋转直角三

4、角形构成基本图形；第二问须从较为复杂的图形中识别出基本图形，并直接运用第一问给出的基本图形（即图2），两组基本图形通过公共边联系在一起进行了初步运用；第三问对第二问的问题进行了改造、变形，但解决问题的方法不变，需学生在类比中解决、在拓展中变化、在变化中创新．这样对原问题获得更为深刻、更为本质的认识，同时获得数学思维方法，形成数学能力．本题是以研究性学习的形式呈现、以直角三角形的旋转得到基本图形为载体的综合题，集实验操作、观察分析、几何证明及探究应用于一身，既考查学生对基础知识的掌握情况，又考查学生理解运用新知识、解决新问题的能力，实现了基础知识考查与能力考查的有效结合．

5、面对本题绝大多数同学都能够上手，但能做全对的比较少，体现了本题具有良好的区分度，是一道不可多得的好题．3、解法再探：从回收的考卷来看，本题得到满分的考生对问题的解答有惊人的相似，特别是第（３）问的解答与标准答案（下文称之“解法一”）几乎相同．可见，题目设置“脚手架”的功效，在这里已发挥了重要的作用；从另一角度来说，因为研究的问题的方法已经呈现出来，无需考生去过多的挖掘，即使是问题较为隐蔽，考生只要沿命题者所设计的轨迹去探究，也较容易找到解决问题的思路，因此，对问题的解答出现了“千人一面”的现象，也不足为奇．这样，无疑大大制约了学生开放的空间和创新意识进一步的焕发，也束缚

6、了学生的思维，体现出试题的局限性．其实，第（３）问还有许多其他证法，抛开“拐杖”，更能训练学生的思维，发展创新能力与探究意识．现仅限于初中数学知识，列举一些其他解法：解法二：构造全等模型如图６，在ＡＢ（或ＡＢ的延长线）上截取ＡＤ＝ＡＥ，在ＡＣ（或ＡＣ的延长线）上截取ＡＫ＝ＡＦ，连接ＤＫ交ＨＧ于Ｏ点；过Ｅ、Ｆ分别作ＨＧ的垂线ＥＰ、ＦＱ，垂足分别为Ｐ、Ｑ易知==k，由辅助线的作法得＝，所以DK∥BC，又AG⊥BC，则AG⊥DK．由第（２）问结论，可知△ADO≌△EAP，　则AO＝EP；△AKO≌△FAQ，则AO＝FQ；所以EP＝FQ．易证△EPH≌△FQH，所以HE＝HF．

7、解法三：用三角形中位线推论证明6如图７，过Ｅ点作ED∥HG交FA的延长线于Ｄ点，则∠DEA＝∠EAH，又由同角∠BAG的余角相等得∠ABC＝∠EAH＝∠DEA①　，由同角∠EAF的补角相等得∠DAE＝∠BAC②，由①②得△ABC∽△AED，所以＝，又知＝＝k，对比两个比例式，得AD＝AF。在△DEF中，Ａ为DF的中点，AH∥DE，所以点Ｈ为ＥＦ的中点，即HE＝HF．解法四：用梯形中位线推论证明如图8，过点A作AG的垂线PQ，垂足为A；分别过点E、F作PQ的垂线EP、FQ，垂足分别为P、Q．由同角∠CAQ的余角相等得∠GAC＝∠QAF，则R