自动控制原理2-7

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1、2-7线性系统的状态变量描述前面我们已经介绍用微分方程、传递函数（包括方块图和信号流图）来作为系统的数学模型，这些模型所描写的是系统的输入与输出之间的关系，我们称这样的模型叫输入输出模式。这种模型只描绘系统的输岀变量，对系统内部的其它变量不给出任何信息。所以，输入输出模式对系统的描述是不完全的。要完全描述一个动态系统，需要确定一组独立的状态变量，其个数等于系统的阶数。即一个n阶系统一般应确定n个状态变量。才能完全描述这个n阶系统。这就是状态变量法，又叫状态空I'可法，是现代控制理论所采用的一种时域方法。称

2、为状态变量模式。这种模式的最大优点就是通用性好，不象输入输岀模式仅适合于线性定常系统；状态变量模式无论对于线性系统或非线性系统，单变量系统或多变量系统，它均能适用。一、基本概念状态：控制系统的运动状态，简称状态。通常用系统中的物理量來表示，如电压、电流、速度、位移、温度、压力等来表示。在动态过程中，这些物理量都是随时间变化的变量，因此要用微分方程来表示其动态关系。iRL舛兹L—+Ri+u「=urdtcr•duci=c—-dtducidi1-=-[-uc-Ri+ur][dtL只要知道哄⑴和讹）的初始值，及在

3、时的输入电压即可确定电路的运动状态，而口，不仅仅是输入、输出关系，还可确定其内部变量的运动情况。状态变量：确定系统运动状态所需的最少一组变量，即为系统的状态变量。如竝⑴和迫）为RLC串联电路的状态变量。只耍知道了这组变量的初始值（即初始状态）和时的外加作用（外输入作用），就能完全唯一地确定在的任何时间的系统状态。状态方程：用状态变量描述系统的动态方程称为状态方程。通常写成矩阵的形式1・汀0CUc'+_0_1■f1R■1——I——•_L_.L厶」输入方程：系统的输出也是状态变量之一，可以用状态变量的线性组合

4、的一般形式来表示。即：uc=[10[:这是一个向量代数方程，称为输出方程。状态方程和输出方程合起来叫做动态方程。二、外加作用函数不包含导数项时单变量系统的状态变量描述输入输出方程为：y输入，u输入如+®g+・・w単+4尸加dtn1d严，，_，dt2“选择状态变量的方法有很多种，通常比较多用也比较简单的选择方法是:令：西=歹”dyrl~l可将n阶微分方程，改写成n个一阶微分方程即：Xj=兀2兀L1=占A:=~anX~an-X2aXn~bnU用矩阵表示x2•■•■00■■10■■■0•…1…••••••

5、0_0••■xx2•■•+■00■•u•V1000…10~an~an-一an-2…~a_A.简写为x=AxBu输出方程y=ex=[10…01?■■如三、外加作用函数不包含导数项时，多变量系统的状态变量描述设多变量n阶线性定常系统如图所示对此系统町写出下列n个一阶微分方程■x{=d］］兀］+a［2x2+…+ahjxn+勺［绚+…+bXrurx2=a2ix}+a22x2+…+ci2nxn+/?2iwi+・•・+b2rurx=Ax+BurX1A=讣+an2X2+•••+annXn+乞Ml+…+bnrUr写

6、成矩阵方程：nXl兀2■u=W2■•■£■•x=a2…%「％勺2…応«21•••a22•■■…吆••••••B=仇1•••〃22■•■…bln••••••an2•••(15刖乞1*2…bLfinnXnnXrA=输出方程：y=ex+Du一个n阶系统的运动状态可以用一个n维矢量x來表示，称为状态矢量。状态矢量x决定n维空间（状态空间）中的一点，称为状态点。状态点在任一时刻的位置表示此时系统的状态。随着时间的推移，状态点在状态空间运动的轨迹，称为状态轨迹也就是状态响应。在二维的情况厂状态空间化为状态平面，又称

7、为相平面。状态方程和输入方程一起，构成系统的状态模型，其一般表达式为[x=Ax+Bu[x=Ax+a.b.[y=Cx--Du[y=Cxa.多变量线性定常系统的状态模型图(用粗箭头表示矢量)b.单变量线性定常系统的状态模型图及惯性系统注：通常，将输出与输入无直接关联的系统称为惯性系统，用b表示；相反，输出与输入有直接关联的系统称为非惯性系统，用a表示。而大多数控制系统为惯性系统，所以动态方程为bo四、传递矩阵前已介绍过，传递矩阵的概念是传递函数的推广。我们先从单变量系统的传递函数推导，再导出多变量系统的

8、传递矩阵。1.单变量系统(见图b)x=Ax(f)+Bu(t)y(t)=CXO当初始条件为0时，对上面两式求拉氏变换Sx($)=Ar(s)+Bu{s)