高中物理竞赛经典方法6递推法-高中课件精选

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1、六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并冃有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。塞题精析例质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某吋刻t,加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；・・・；在nt时刻，加速度变为(n+1)a,求：(1)nt时刻质点的速度；(2)nt时间内通过的总路程。解析：根据递推法的思想，从特殊

2、到一般找到规律，然后求解。(1)物质在某时刻t末的速度为vt=at2t末的速度为V2t=vt+2at即V2t=at+2at3t末的速度为V3t=V2t+3at=at+2at+3at贝0nt末的速度为vnt=v(n-)t+nat=at+2at+3at+…+nat=at(1+2+3+・••+n)=at-y(n+l)n二gn(n+l)at(2)同理：可推得nt内通过的总路程s二右n(n+l)(2n+l)at2例2：小球从高ho=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小丄(n=2),求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路n程。(g取10m/s2)解

3、析：小球从/io高处落地时，速率vo二J2gh°二60m/s第一次跳起时和又落地时的速率V1二乙2第二次跳起吋和又落地吋的速率V2二乂第m次跳起时和又落地时的速率vm二立2皿每次跳起的高度依次为hl二单二冬，h2二单二A，2gn22gn4…)通过的总路程Ss=ho+2hi+2h2+…+2hm+…=ho+(1+-r+-7+nitn=血+暑Th。.貯弓h。=300m经过的总时间为St=to+ti+t2+…+tm+…ggg=—[1+2-—+…+2(—)m+…]gnn二巴.二辿二18sgn-1g例3：A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速

4、度均为v,A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而H任一吋刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6-1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔M,在每一个At内每只猎犬的运动可视为肓线运动，每隔M，正三角形的边长分别为ai、a2、a3>…、an,显然当an-0吋三

5、只猎犬相遇。图6—1aai=a—AAi—BBicos60°=a—-vAt2a2=ai—-vAt=a—2x2vAt22a3=a2—-vAt=a—3x-vAt22an=a—n--vAt2因为a—n--vAt=0,即Mt二t2所以:t二竺3v(此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。)例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m,若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但

6、各节车厢起动的动能则不同。原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在As的宽松距离，设火车的牵引力为F,则有：车头起动吋，有：(F—

7、img)As=

8、mv^拉第一节车厢时：(m+m)v；=mvi故有:昨冷心疋—唧As(F—2pmg)As=护mv;■lx2mv*拉第二节车厢时：(m+2m)v；二2mv2故同样可得：v；二土v2=-(——-pg)As93m3推理可得:n+1m2n+l3昭)As由v(>0可得：F>2n+l

9、img另由题意知F=31(img,得：nV46因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。例5有n块质量均为m,厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，

10、现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来,每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2=mgd将第3、4、・・・、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为：W3=mg2dW4=mg3dW5=mg4dWn=mg（n—l）d所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W二W1+W2+W3+…+Wn=mgd+mg2d+mg3d+…+mg（n—l）dn（n-1b4图6—3例6：如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片AR（i=