考试题库之高等量子力学

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1、1、请写出关于直积的五个定理并加以证明答案：定理一：两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵证明：己知A、B为两个对角矩阵，有Aij=Aii3ij,Bmn=Bmm6mn(AxB)im,jn=AijBmn=AiiBmmmn=Cim;im3imjn所以.AxB仍是对角矩阵定理二：(A+B)xC二AxC+BxC证明：((A+B)xC)im,jn=(A+B)ijCmn=(Aij+Bij)Cmn=AijCmn+BijCmn=(AxC)im,jn+(BxC)im,jn,所以(A+B)xC二AxC+BxC.定理三：如果A和B是幺正矩阵

2、，则AxB也是幺正的证明：因为A、B都是幺正矩阵，所以AA=1,BB+=1工AikA：j=Qj‘=<5，mnk1工(AxB)翻(AxB总厂工AjOAxB).二工九氏klklkl=工九氏/押：=工九馆工8〃屁=§扎i=SimJnklkI所以AxB也是幺正矩阵定理四：Tr(AxB)=TrATrB证明：Tr(AxB)二工(AxB)t=工人心“”=工4工九=TrA・TrBimimint定理五：设A、C为同维矩阵，B、D为同维矩阵，贝lj<(AXB)(CXD)=(AC)X(BD)证明：((AxB)(CxD))t二工(Ax

3、B)(CxD)gkl=工AjRBmlCkj£>ln=工AjkBkj工BmlDinklkI=(A6j(BD馬=((AC)x(BD九少所以(AXB)(CXD)=(AC)X(BD)2、如果/是厄米算符,而且对某一特定右矢

4、A〉有/m

5、A)=O,m为正整数,则有/

6、A)=0o证明：因为.严

7、A)=0,所以f(m~2)fmA)=f2(m-l)A)=0,〈A

8、严心=0因为f是厄米算符，所以严也是厄米算符，所以〈內严A〉={A

9、/(m-1)/(m_1)

10、A)=〈严严宀易=0所以严T)⑷=0,同理，可得到f(n,-2)A

11、)=0以此类推，可得到f

12、A〉=0。3、(1)请写出一维谐振子的经典哈密顿量(2)请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程纳法证明aa+n-a+na=na+,l~}(4)根据q

13、0〉=0,〈0

14、0〉=1用数学归纳法，证明并根据正交归一性推导出a+)=Jn+1+1〉a)=yfn-i)答案：(1)一维谐振子的经典哈密顿量H=—(n2+m2a)2q2>)A=厉［门，司=_皿沪s(3)证明：因为[aya+]=l,所以当n=l时成立假设当n=m时，aa+m-a+ma=na+m-[成立则当n=m+1时,[

15、^，/也叫二a,a+m]a+4-a+wa,a+=na+m~}a++a=(n+1)q+"‘所以72=m+1时成立，由此可推出aa+n-a+na=na+,l~](4)证明：因为^0)=0,所以当n=l时成立假设当n=m时,(^ama+m)=ml成立则当"=m+l时，{0am+}a+,n+i)=(0amaa+a+m)=〈0”气1+4怙“严

16、0〉(0ama+aa+m)+^)aa+m)={0a,na+(a+ma+ma+m~x)

17、0〉+{0ama+m)因为d

18、0〉=0,所以［Oan

19、,a+a+ma0)=0上式二〈0ama+rna+m^0)+〈0”〃匕仙0〉ama+m)^(0ama+m^伽+1)〈0ama+m^=(m+1)/??!=(m+1)!所以H=m+1时成立，由此可推出〈0

20、a"/"

21、0〉=/?!因此相应于能量为(n+£)方Q的归一化本征右矢为所以a^)=+n+lJA?+1由此得出丄何網0〉二丄(d%+加卄T)

22、0)7nlV«!乔a+/,_l10〉二4nz?一1)a+}=厶+1

23、〃+1〉a}=4n-)4、(1)请写出费曼一海尔曼定理(2)请写出维里定理

24、(3)请用费曼一海尔曼定理答案：(1)假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为E“和加〉，九为哈密顿量屮含有的任何一个参数，则有婆=S啓okdkp2(2)2{n7)={nr•W

25、n),这里T=—是动能,V=V(r)是势能。2m(3)在坐标表象中,P2存+呵,把力看成参量,dhm1P22=_Thmhp~p2在动量表象中，w=—+v(r)=—+V

26、ih—dP2m2mdHdV莎l/、d「/、〒■^7=^7=vv•—=VV(r)•z-^=VV(r)•-ufionondPTi在最后一步中又将动量表象中的浦

27、刍换回为7。dr由F-H定理知dE..dH1、1...x"乔"二牙"厂*vvb〉比较①和②得知2{nTri)={nr・W

28、n),证毕。加2〉和i泗;沁rIm加〉证明CG系数满足下面的正交归-性工C>/几-2C>c加Cjm=8A厶^W^Hh/醐・/>〃"加耐枷>加；>证明：Im加〉=工c—〃“〃】2取共轨为：=丿MJ®Z,哦加〈曲机〃“加2由以上两式，得血=〈丿丿2丿切'I丿丿2丿