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《高中数学竞赛模拟题1-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2011年全国高中数学联赛模拟试题一一试一・填空题（每小题8分，共64分）1•函数/（兀）=-―+*在（-8,2）上的最小值是2—兀的值域是sinxcosx1+sinx+cosx3.将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋屮，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为日，放冋后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为方。则使不等式旷2快10>0成立的事件发生的概率等于•4.设数列⑺”｝的前n项和S“满足：S+d=Z，心1,2,…，则通项〜二n（n+）5.已知椭圆二+基=l（d>b>0）与直线x^y=l交于
2、M,N两点,H.0M丄ON,（0为行/?原点），当椭圆的离心率wwr—1吋,椭圆长轴长的取值范围是326.函数y=5Vrn+V10-2x的最大值是.7.在平而直角处标系中，定义点Pg」）、0（勺*2）之间的“直角距离”为J（P,2）=
3、xl-x2
4、+
5、y1-y2
6、.若C（x,y）到点A（l,3）、B（6,9）的“直角距离”相等,其中实数X、y满足°W兀510、°wy'io，则所有满足条件的点c的轨迹的长度之和为.8.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4&的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内
7、壁的面积是・二•解答题（共56分）9.（16分）已知定义在R上的函数/（兀）满足：/（1）=-,且对于任意实数兀、y,总有=f（x+y）+f（x-y）成立.（1）若数列｛色｝满足a”=2/（〃+l）=1,2,3,…），求数列｛a”｝的通项公式；（2）若对于任意非零实数y,总有f（y）>2.设有理数知兀?满足Xi1<1^1>判断f（xi）和f（x2）的大小关系，并证明你的结论.3.(20分)设b>0,数列｛%｝满足尙=b,an(1)求数列｛%｝的通项公式；夕+i(2)证明：对于一切正整数斤，+1.jzzr3.(20分)若a、
8、b、cwR「且满足一■——W(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最a+b+c大值。加试一.（40分）在平而直角乂标系兀Oy上，给定抛物线厶：y=-x2.实数满足4p2-4q>0,西,兀2是方程x2-px+q=0的两根，记=max{
9、x1
10、,
11、x2
12、}.（1）过点人（几扌淀）（几工0）作乙的切线交y轴于点证明：对线段ABk的任_点Q（p,q），有=（2）设£）={（兀,y）
13、yWx-l,y>—（x+1）2-—}.当点（p,g）取遍£>时,求•・44（p（p,q）的最小值（记为久in）和最大值（记为％ax）・二.（40分）
14、如图，给定□四边形ABCD,ZB+ZD<180°,P是平面上的动点，令f（P）=PABC+PDCA+PCAB・（I）求证：当/（P）达到最小值时，P,A,B,C四点共圆;（II）设E是MBC外接圆O的弧AB上一点，满足：匹=毎,—=73-1»AB2ECZECB」ZECA，又DA,DC是圆0的切线，AC=J1,求/（P）的最小值.2ABD二题图一.（50分）如图，在7X8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋了。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子和连。现从这56个棋子中取岀一些，使得棋盘上剩下的棋了，
15、没冇五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。二.（50分）求证：对/=1,2,3,均有无穷多个正整数使得S+2/+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和。模拟试题一参考答案第一试一.填空题（每小题8分，共64分）1.2.当兀<2时"，2-x>0,因11匕/（兀）=l+（4_4x+x）=_L+（2_x）n2・J^—・（2_牙）2-x2-xV2-x=2,当且仅当—「2—%（-00,2）上的最小值为2.■血+1/U(、伍71,2L7<2J2.设t=sinx^cosx=y/2—
16、—smx+——cosx22/血sin(兀+彳).=2-x吋上式収等号•而此方程有解x=1g（-oo,2）,因此/（x）在因为一1Wsin（兀+兰）51,所以-迈05迈.乂因为r=U2sinxcosx,所以4x2-lsinxcosx^2所以乎<>0得2从册40,于是，当戻1、2、3、4、5吋，每种情形自可取1、2、…、
17、9中每一个值，使不等式成立，则共冇9X5=45种；当戻6时，白可取3、4、…、9中每一个值，有7利％当戻7时，臼可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当时，日可取7、8、9中每一个值，冇3种；当戻9时，日只能取9,冇1种。于是，所求事件的概率为45+7+5+3+18161~81Tn(n+l)^+,_
