高中教育，求函数极限方法和技巧汇总

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1、高中教育，求函数极限方法和技巧汇总126种技巧】求函数极限的方法1、运用极限的定义例：用极限定义证明:lim•yt2V£>o収则当o

2、/(x)•g(x)]=liinf(x)•limg(x)=tBr—>r0•xfQ,r->x0(TID若RHO则：厂、limf(x)A.7八丿Alim==—xty.g(x)limg(x)BAT.Y・(tv)l

3、imc•f(x)=c•limf(x)=cA（c为常数）上述性质对于xTT+8,xT-8时也同样成立例:X+£解:lim.r->TF+H+Q和+「+-~例：求limx/-r-

4、6v-20'->--2岸-3x2-1Ox)+(2x2-6x-20)lx34-5x2+6x)4-(2x24-10x4-12)=lim(工十2)(「10)—(x+2)(f+5x+6)(X-3x-10)r(片_o)(k+丫)*T・2(x2+5x+6)丈亠f(x+y)(x+r)lirn忙一a丫4、通分法（适用于8-g

5、型）例：求"(Y+x)(Y-x)lim=—宀+・t5,利用无穷小虽性质法（特别是利用无穷小帘与有界虽Z乘枳仍为无穷小竜的性质）设函数f（x）、g（x）满足：（T）lim/（x）=・（M为正整数）©limg(x)f(x)=0limxsin—故原式limxsin—=0sin—S'x(I)若：lini/(x)=oolim7w=0(II)若:lim/(x)=Olim——/(a)例：求下列极限①limAFX+°②limIlX一1解：由lim(x+5)=8limXT®X+°山lim(x-1)=0TT1lim——jx_17、等价无穷小代换法设'都足同一极限过程中的无穷小址，且冇:I

6、(XQ〜a,0〜0,lim百存在.©P..aaa则皿直也存在，且有皿牙二Hm—例:求极限xsinfIT，'一cosFaTsinx"解：sinx'〜x2_2注：在利用等价无穷小做代换时.一般只在以乘税形式出现时可以互换.若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小址之比的“阶数"8、利用两个重要的极限。“)lim竺Jl(B)lim(l+b”=eXT。X%但我们经常使用的处它们的变形:(昇)lim也m=1,(eO)—>0)卩(x)(B)lim(1+—-—严)=e,((p(x)Tg)g)例：求下列函数极限小「a'一'1jIncosar(')、

7、lim(2)、lim—x丄亠Incosfev解:(')令则xJW+")于是匚Inax乂当XTOlbJ,"T0i/r-/—-g・qI*»wInci*«Inci故fl：lini=lim=lim——gox“a

8、n(

9、+u)肪toln(l+")u(Y)、原式=

10、荷迥1上空竺Jfln['+(cosbx-')]..ln[('+(cosav-')J=lim———cosar-'ln['+(cos加-')]cosbx-'厂cosbx_、limIcosax-'"Inaln('+u)「Ina.=lim=InaD1ln(l+”)"cosbx-、cosax一•vasin—x..、oc-Tsin

11、—x=lim；—=limTf▼■、bAT••Yh.aCl-Tsin—xsin—x(—x)YXY~h~J(評brAT，9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）°“)lim竺Jl(B)lim(l+b”=eXT。X%但我们经常使用的处它们的变形:(昇)lim也m=1,(eO)—>0)卩(x)(B)lim(1+—-—严)=e,((p(x)Tg)g)例：求下列函数极限小「a'一'1jIncosar(')、lim(2)、lim—x丄亠Incosfev解:(')令则xJW+")于是匚Inax"Inaln('+u)(2)、由ln(RVl=ln(l+x);X令奶x)=(1+

12、x)x故有：ln(l+x)丄丄lim=limln(I+x)v=ln(liin(l+x)r)=lne=I.¥—>0xr—>0v—H)10.变虽替换法（适用于分子.分母的根指数不相同的极限类型〉特别地有:mlnk叭n.k.1为正整数。例：求F列函数极限解：（］畫I二”叭则当XT②lim(・YTg惊式二lim■•(1-f)(l+f+厂++广“)m吧(1一/)(1+/+〃+……+/”T)-匚Xr+r、Y②由于lim(-)"=lim(>+--)JgJ+、XTg丫工+',2a+1I令：2=t则111x+1=—+―t2rw、・・・lim(J=人・十丫兀+'=lim